【37676】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 解答题 计算曲线积分 $\oint_L \frac{x y \mathrm{~d} x+\left(y^2+x\right) \mathrm{d} y}{x^2+y^2+1}$ ，其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=1$ ，方向顺时针．

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【37675】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 解答题 计算曲线积分 $\oint_C\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $C$ 是星形线：$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$

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【37674】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 解答题 计算重积分 $\iiint_{\Omega}\left(2 x^2+z^2\right) \mathrm{d} V$ ，其中区域 $\Omega$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 内，及圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 下，即 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid z \leqslant \sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2+z^2 \leqslant 1\right\}$ ．

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【37673】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 解答题 设 $F(u, v)$ 具有连续的偏导数，且 $F_u(1,2)=F_v(1,2) \neq 0$ ．若 $z=z(x$ ， y）是由方程 $F\left(x+2 y, x^2 y z\right)=0$ 确定的隐函数，满足 $z(-1,1)=2$ ，求梯度 $\left.\operatorname{grad} z\right|_{(-1,1)}$

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【37672】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 填空题 设 $f(x)=x^{12} \mathrm{e}^{-3 x^2}$ ，则 $f^{(2012)}(0)=$ $\_\_\_\_$ （答案中用阶乘数＂$k$ ！＂表示）

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【37671】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 填空题 设 $\Sigma$ 为球面：$x^2+y^2+z^2=1$ ，则第一类曲面积分 $\iint_{\Sigma} x(4 x-z) \mathrm{d} S=$

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【37670】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 填空题 微分方程 $\left(2 x+\frac{y}{1+x^2 y^2}\right) \mathrm{d} x+\frac{x}{1+x^2 y^2} \mathrm{~d} y=0$ 的通解为

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【37669】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 填空题 椭球面 $S: x^2+2 y^2+z^2=k$（常数 $k>0$ ）外侧的一组法向量为

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【37668】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 填空题 设区域 $D$ 由闭曲线 $|x|+|y|=1$ 围成，则 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$

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【37667】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 单选题 下列命题中，正确的命题个数为（ ）。 （1）设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$ 存在，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ ； （2）设 $f(x)=x-\sin x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 绝对收敛； （3）如果 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有任意阶导数，则对 $x, x_0 \in(a, b)$ 有： $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n . $$

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