【37686】 【 数列里奇偶并项求和训练】 解答题 （2023•湖南岳阳•统考三模）已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，其公比 $q \neq-1, \frac{a_4+a_5}{a_7+a_8}=\frac{1}{27}$ ，且 $S_4=a_3+93$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）已知 $b_n=\left\{\begin{array}{c}\log _{\frac{1}{3}} a_n, n \text { 为奇数 } \\ a_n, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37685】 【 数列里奇偶并项求和训练】 解答题 （2023•湖南衡阳•衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 与等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为：$S_n, T_n$ ， 且满足：$a_1=3, \frac{S_{2 n}}{S_n}=\frac{4(n+1)}{n+2}, \frac{T_n-S_{2 n}}{4}=2^n-n^2-n-1$ （1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）若 $c_n=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{b_n}, n \text { 为奇数 } \\ \frac{1}{2 S_n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项的和 $U_{2 n}$ ．

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【37684】 【 数列里奇偶并项求和训练】 解答题 （2020．天津•统考高考真题）已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，$a_1=b_1=1, a_5=5\left(a_4-a_3\right), b_5=4\left(b_4-b_3\right)$ ． （I）求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （II）记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，求证：$S_n S_{n+2}<S_{n+1}^2\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ；

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【37683】 【 数列里奇偶并项求和训练】 解答题 （2023．山东．山东师范大学附中校考模拟预测）已知 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正数的数列，$S_n$ 为 $\left\{\sqrt{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $\sqrt{a_n}, S_n, a_n-2$ 成等差数列． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）已知 $b_n=(-1)^n a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37682】 【 数列里奇偶并项求和训练】 解答题 （2023．山东烟台．统考二模）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_3=9, a_{n+1}=a_n+2$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=2$ ，且 $b_{n+1}=2 b_n$. （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $c_n=\frac{(-1)^n+1}{2} a_n-\frac{(-1)^n-1}{2} b_n$ ，求数列 $\left\{\frac{1}{c_n c_{n+2}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37681】 【 数列里奇偶并项求和训练】 解答题 （2023．全国．统考高考真题）已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，$b_n=\left\{\begin{array}{l}a_n-6, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_n, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$的前 $n$ 项和，$S_4=32, T_3=16$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）证明：当 $n>5$ 时，$T_n>S_n$ ．

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【37680】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 解答题 已知 $u_0=x_0=1, \frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{n}{n+2}, x_n=x_{n-1}+u_n, n=1,2, \cdots$ ， （1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在； （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．

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【37679】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 解答题 （1）证明函数 $f(x)=\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2}$ 的麦克劳林级数展开式为 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} 2 n x^{2 n-1}, x \in(-1,1) ; $$ （2）求级数 $\frac{1}{4}-\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}-\frac{4}{4^4}+\cdots$ 的和．

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【37678】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 解答题 求函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n(1-x)}{n\left(1-x^{2 n+1}\right)}$ 的收敛域．

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【37677】 【 上海交通大学第二学期期末考试(试卷4)】 解答题 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} x^2 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^2 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为圆锥面 $z= \sqrt{x^2+y^2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的下侧．

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