【39726】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，画出积分区域 $D$ ，并把积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 表示为极坐标系下的二次积分，其中： （1）$D$ 为 $x^2+y^2 \geq 1$ 和 $x^2+y^2 \leq 2 x$ 所围闭区域； （2）积分区域 $D$ 为 $x^2 \leq y \leq 1$ 所围闭区域．

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【39725】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 设平面区域 $D$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t, \\ y=1-\cos t\end{array} \quad(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_D y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

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【39724】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算积分 $I=\iint_D\left(x^3 \cos y^2+y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=x^2, y=4 x^2, y=1$ 围成的闭区域．

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【39723】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 计算下列二重积分： （1） $\iint_D\left(x^3+x^2 y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由双曲线 $x^2-y^2=1$ ，直线 $y=0, y=1$ 围成的有界闭 区域。 （2） $\iint_D \sqrt{\left|y-x^2\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ ．

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【39722】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 交换二次积分 $\int_0^\pi \mathrm{d} x \int_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序．

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【39721】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \iint_{x^2+y^2 \leq n^2}\left[\sqrt{x^2+y^2}\right] \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]$ 是不大于 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的最大整数，$n$ 是正整数． ［提示：（1）将积分区域 $x^2+y^2 \leq n^2$ 分解为 $k^2 \leq x^2+y^2<(k+1)^2(k=0,1,2, \cdots, n-1)$ ； （2） $\left.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n}{6}(n+1)(2 n+1)\right]$ ．

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【39720】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 设 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，$\left(x_0, y_0\right)$ 是 $D$ 的一个内点，$D_r$ 是以 $\left(x_0, y_0\right)$ 为中心以 $r$ 为半径的闭圆盘，试求极限 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^2} \iint_{D_r} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．［提示：利用重积分中值定理］

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【39719】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 利用二重积分的性质比较下列积分的大小： $$ \iint_D(x+y)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \text { 与 } \iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ $D$ 由圆周 $(x-2)^2+(y-1)^2=2$ 所围．

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【39718】 【 同济大学《二重积分与三重积分》课堂训练】 解答题 利用二重积分的几何意义确定下列积分的值 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D: x^2+y^2 \leq a^2$ ．

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【39717】 【 动量和能量观点综合应用】 解答题 $A 、 B$ 两个物体粘在一起以 $v_0=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度向右运动，物体中间有少量炸药，经过 $O$ 点时炸药爆炸，假设所有的化学能全部转化为 $A 、 B$ 两个物体的动能且两物体仍然在水平面上运动，爆炸后 $A$ 物体的速度依然向右，大小变为 $v_A=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, B$ 物体继续向右运动进入半圆轨道且恰好通过最高点 $D$ ，已知两物体的质量 $m_A=m_B=1 \mathrm{~kg}, O$ 点到半圆最低点 $C$ 的距离 $x_{O C}=0.25 \mathrm{~m}$ ，水平轨道的动摩擦因数 $\mu=0.2$ ，半圆轨道光滑无摩擦，求： （1）炸药的化学能 $E$ ； （2）半圆弧的轨道半径 $R$ ．

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