计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \iint_{x^2+y^2 \leq n^2}\left[\sqrt{x^2+y^2}\right] \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]$ 是不大于 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的最大整数，$n$ 是正整数．
［提示：（1）将积分区域 $x^2+y^2 \leq n^2$ 分解为 $k^2 \leq x^2+y^2 < (k+1)^2(k=0,1,2, \cdots, n-1)$ ；
（2） $\left.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n}{6}(n+1)(2 n+1)\right]$ ．