【38488】 【 哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》解析函数】 解答题 设二元实函数 $u=u(x, y)$ 有偏导数，这一函数可写成 $z=x+\mathrm{i} y$ 及 $\bar{z}=x-\mathrm{i} y$ 的函数 $$ u(x, y)=u\left(\frac{z+\bar{z}}{2}, \frac{z-\bar{z}}{2 \mathrm{i}}\right) $$ 再把 $z, \bar{z}$ 看作彼此相互独立的变量，证明： $$ \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right) ; \quad \frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y}\right) $$

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【38487】 【 哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》解析函数】 解答题 证明函数 $w=x^2-y^2-y+\mathrm{i}(2 x y+x)$ 在 $z$ 平面上解析，并求其导函数．

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【38486】 【 哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》解析函数】 解答题 设 $f(z)=m y^3+n x^2 y+\mathrm{i}\left(l x^3-3 x y^2\right)$ 为解析函数，试确定 $m, n, l$的值．

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【38485】 【 哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》解析函数】 解答题 下列函数在何处可导？何处解析？ （1）$f(z)=2 x y^2+\mathrm{i} x^2 y$ ； （2）$f(z)=2 x^3+\mathrm{i} 3 y^3$ ； （3）$f(z)=\sin x \operatorname{ch} y+\mathrm{i} \cos x \operatorname{sh} y$ ．

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【38484】 【 哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》解析函数】 解答题 讨论函数 $$ f(z)= \begin{cases}\frac{x\left(x^2+y^2\right)(y-\mathrm{i} x)}{x^2+y^4}, & z \neq 0 \\ 0, & z=0\end{cases} $$ 在原点 $z=0$ 处的可导性． 分析 分片定义的函数在分界点的解析性一定要用定义来考察．

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【38483】 【 哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》解析函数】 解答题 根据定义，讨论下列函数的可导性： （1）$f(z)=\operatorname{Im} z$ ； （2）$f(z)=|z|^2$ ．

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【38482】 【 机械能守恒定律及其应用综合训练】 解答题 如图所示，倾角 $\theta=37^{\circ}$ 的斜面固定在水平面上，斜面顶点 $B$ 处固定一个厚度不计的挡板，挡板与斜面垂直，挡板上端固定着光滑圆弧轨道 $E F, O$ 点为圆心，$F$ 在 $O$ 点正上方，$O F=R$ ， $O E$ 垂直斜面。在斜面下端 $A$ 点静置着一块长为 $2 R$ 、质量为 $m$ 的木板，木板的厚度与斜面上端挡板的高度相同，在木板左端静置着一可视为质点的、质量也为 $m$ 的木块。若同时给木板和木块一个沿斜面向上的相同的初速度 $v_0=\frac{12}{5} \sqrt{g R}$ ，木板和木块将保持相对静止沿斜面减速上滑，木板上端恰好能运动到 $B$ 点；现对静止的木板施加沿斜面向上的恒力 $F=2 m g$ ，同时给木块一初速度 $v_0$ ，木板运动到斜面上端与挡板相撞后粘在一起的同时撤去 $F$ ，木块恰好能运动到木板上端边缘。已知木板与斜面间的动摩擦因数 $\mu_1=0.5$ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 $g, \sin 37^{\circ}=0.6$ 。求： （1）斜面长度 $s$ ； （2）木块与木板间的动摩擦因数 $\mu_2$ ； （3）如果 $s$ 的大小可以改变，要使木板能在与木块共速前到达 $B$ 端且木块进入圆弧 $E F$ 后不脱离圆弧，试确定 $s$ 的取值范围。 [img=/uploads/2026-03/9aa782.jpg][/img]

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【38481】 【 机械能守恒定律及其应用综合训练】 解答题 如图所示，四分之一光滑圆弧轨道和水平传送带固定在同一坚直平面内，圆弧轨道半径 $R=5.0 \mathrm{~m}$ ，其底端切线水平且通过一段光滑水平轨道与传送带连接，传送带长度为 L ，离地高度为 $h_1=1.5 \mathrm{~m}$ ，沿逆时针方向转动的速度为 $v=6.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，在距传送带右侧水平距离 $d=1.0 \mathrm{~m}$ 处有一离地高度 $h_2=1.3 \mathrm{~m}$ 的平台。一质量 $m=2.0 \mathrm{~kg}$ 的小物块（可视为质点）从圆弧顶点处由静止释放，物块与传送带间的动摩擦因数 $\mu=0.5$ ，不计物块经过轨道连接处时的动能损失，且传送带转动轮足够小，$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，求： （1）若传送带长度为 $L_1=6.4 \mathrm{~m}$ ，请通过计算判断物块能否到达右侧平台； （2）若传送带长度为 $L_2=12 \mathrm{~m}$ ，物块能否返回圆弧轨道？若能，求物块在圆弧轨道能上升的最大高度 $H$ 。 [img=/uploads/2026-03/6497bc.jpg][/img]

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【38480】 【 机械能守恒定律及其应用综合训练】 解答题 如图所示，坚直固定的四分之一粗糙圆轨道下端 $B$ 点水平，半径 $R_l=1 \mathrm{~m}$ ，质量 $M=1 \mathrm{~kg}$ 的长薄板静置于倾角 $\theta=37^{\circ}$ 的粗糙斜面 $C D$ 上，其最上端刚好在斜面顶端 $C$ 点。一质量为 $m=1.5 \mathrm{~kg}$的滑块（可看做质点）从圆轨道 $A$ 点由静止滑下，运动至 $B$ 点时对轨道的压力大小为 $F_N=39 \mathrm{~N}$ ，接着从 $B$ 点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时与坚直固定的光滑半圆轨道 $D E$ 底端粘接在一起。已知斜面 $C D$ 长 $L_2=7.875 \mathrm{~m}$ ，薄板长 $L_l=2.5 \mathrm{~m}$ ，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数 $\mu_l=0.25$ ，滑块与长薄板间的动摩擦因数为 $\mu_2=0.5$ ，滑块在斜面底端的能量损失和运动过程中空气阻力均忽略不计，$g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ， $\sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8$ ，试求： （1）滑块运动至 $B$ 点时速度大小 $v$ 及滑块由 $A$ 到 $B$ 运动过程中克服摩擦力做的功 $W_f$ ； （2）滑块运动到 $D$ 点时的速度大小； （3）如果要使滑块不会中途脱离坚直半圆轨道 $D E$ ，其半径 $R_2$ 需要满足什么条件？ [img=/uploads/2026-03/cd0a23.jpg][/img]

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【38479】 【 机械能守恒定律及其应用综合训练】 解答题 如图所示，一个半径为 $R$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆周的轨道，$O$ 点为圆心，$B$ 为轨道上的一点， $O B$ 与水平方向的夹角为 $37^{\circ}$ ．轨道的左侧与一固定光滑平台相连，在平台上一轻质弹簧左端与坚直挡板相连，弹簧原长时右端在 $A$ 点．现用一质量为 $m$ 的小球（与弹簧不连接）压缩弹簧至 $P$ 点后释放．已知重力加速度为 $g$ ，不计空气阻力． [img=/uploads/2026-03/57d57a.jpg][/img] （1）若小球恰能击中 $B$ 点，求刚释放小球时弹簧的弹性势能； （2）试通过计算判断小球落到轨道时速度能否与圆弧垂直； （3）改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值．

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