【29851】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 判别下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性： （1）$a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}$ 。 （2）$a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n(2 n+1)}}$ ． （3）$a_n=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ．

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【29850】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 解答下列问题： （1）求 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$ ． （2）求 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{n!}}$ ． （3）试证明 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列，其中 $a_n=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^n}\right)(n \in N )$ ．

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【29849】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 试证明下列命题： （1）$a_n=(1+x / n)^n(x>0, n \in N )$ 是有界的严格递增数列。 （2）$a_n=(1+x / n)^{m+n}(x>0, m>0$ 且 $m, n \in N )$ 是严格递减数列。

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【29848】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性： （1）$a_{n+1}=a_n\left(a_n^2+3 a\right) /\left(3 a_n^2+a\right)(a>0, a>0)$ 。 （2）$a_{n+1}=a \cdot \sin a_n(|a| \leqslant \pi / 2)$ 。

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【29847】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性： （1）$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^\alpha}\left(\alpha>0, a_1>0\right)$ 。 （2）$a_1>0, a_{n+1}=\frac{1}{m}\left[(m-1) a_n+a / a_n^{m-1}\right](m \in N , a>0)$ ． （3）$a_1>-1 / 2, a_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 a_n+\frac{1}{a_n^2}\right)$ 。

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【29846】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 判别下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的收敛性： （1）$a_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}$ ． （2）$a_{n+1}-a_n>-1 / n^2\left(\left|a_n\right| \leqslant M\right)$ ．

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【29845】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 试判别下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的有界性： （1）$\left\{a_n\right\}$ 满足： $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a_{n+1}-a_n\right)=+\infty$ 。 （2）$\left\{a_n\right\}$ 满足：$\left|a_n-a_m\right|>1 / n(n<m)$ 。 （3）$a_{n+2} \leqslant p a_n+(1-p) a_{n+1}\left(0<p<1, a_n>0\right)$ 。

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【29844】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的有界性： （1）$a_{n+2}=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}\left(a_1, a_2>0\right)$ 。 （2）$a_{n+1}=a_n+1 / a_n^2(a>0)$ 。

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【29843】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 设 $m$ 是取定的正整数，记 $I_n=\frac{1^m+2^m+\cdots+n^m}{n^m}-\frac{n}{m+1}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$

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【29842】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n a_k=A$ ，试证明 （1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1+2 a_2+\cdots+n a_n}{n}=0$ 。 （2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n!\cdot a_1 \cdot a_2 \cdots a_n\right)^{1 / n}=0$ ．

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