【29861】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 试求下列函数极限： （1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (1+x) \tan (1-x)-\tan ^2 1}{\tan ^2 x}$ ． （2） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (2+\sqrt{x})}{\ln (6+\sqrt[6]{x})}$ ． （3） $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \sqrt{x^2+1}-\sin \sqrt{x^2-1}\right)$ ．

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【29860】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 设 $f(x)$ 定义在 $(-\infty, \infty)$ 上，且有 $$ f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right), \quad x_1, x_2 \in(-\infty, \infty) . $$ 若 $f(x)$ 在某点 $x_0$ 的邻域 $U_\delta\left(x_0\right) \triangleq\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 上有界，则 $f(x)$ 在任一点 $x \in$ $(-\infty, \infty)$ 的邻域 $U_\delta(x)$ 上有界。

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【29859】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性： （1）$a_{n+1}=\sqrt[3]{a_n+6}\left(a_1>-6\right)$ 。 （2）$a_{n+1}=A \sqrt{a_n+B}\left(A, B>0, a_1>0\right)$ ．

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【29858】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 试论下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性： （1）$\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n-2 a_{n+1}\right)=0$ 。 （2）$a_n=n b_n$ ，其中 $b_n$ 满足：$\left|n b_n\right| \leqslant M(n \in N )$ ，且存在 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(b_n+b_{2 n}\right)=l$ 。

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【29857】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \cos n=1, \lim _{n \rightarrow \infty} n=-1$ ．

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【29856】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 试求下述数列 $\left\{a_n\right\}$ 的上、下极限： （1）$a_n=\sqrt[n]{1+2^{n(-1)^n}}$ 。 （2）$a_n=1+\frac{n \cdot \cos (n \pi / 2)}{n+1}$ ． （3）$a_n=\frac{n}{3}-\left[\frac{n}{3}\right]$ ． （4）$a_{n+1}= \begin{cases}a_n / 2, & n \text { 是偶数，} \\ \left(1+a_n\right) / 2, & n \text { 是奇数．}\end{cases}$

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【29855】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n-a_{n-2} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，试证明 $a_n / n \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ．

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【29854】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 试证明下列命题： （1）若 $\left\{a_n\right\}$ 是有界数列，则存在正整数子列 $\left\{n_k\right\}$ ，使得下列极限存在： $$ \lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_k}=l_1, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_k-1}=l $$ （2）若 $\left\{a_n\right\}$ 的任一子列 $\left\{a_{n_k}\right\}$ 均含有以 $a$ 为极限的收敛子列，则 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列。 （3）设 $\left\{a_n\right\}$ 是有界列。若其任一收敛子列都有相同的极限值 $a$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列，且极限为 $a$ ．

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【29853】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 试证明下列命题： （1）设 $a_1=1, a_{n+1}=a_n+1 / \sum_{k=1}^n a_k$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n / \sqrt{2 \cdot \ln n}=1$ 。 （2）对给定的 $y$ 值，方程 $x-\alpha \cdot \sin x=y \quad(0<\alpha<1)$ 有唯一解。

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【29852】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 试证明 $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}\right) / \ln n=\frac{3}{2}$ ．

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