试证明下列命题：
（1）若 $\left\{a_n\right\}$ 是有界数列，则存在正整数子列 $\left\{n_k\right\}$ ，使得下列极限存在：

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_k}=l_1, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_k-1}=l
$$

（2）若 $\left\{a_n\right\}$ 的任一子列 $\left\{a_{n_k}\right\}$ 均含有以 $a$ 为极限的收敛子列，则 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列。
（3）设 $\left\{a_n\right\}$ 是有界列。若其任一收敛子列都有相同的极限值 $a$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 是收敛列，且极限为 $a$ ．