【29871】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 试证明极限等式 $I=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{ e ^x+ e ^{2 x}+\cdots+ e ^{n x}}{n}\right)^{1 / x}= e ^{\frac{n+1}{2}}$ ．

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【29870】 【 数学分析-极限与收敛准则】 解答题 计算下列函数极限： （1） $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{ e ^x+ e ^{-x}}{ e ^x- e ^{-x}}\right)^{ e ^{2 x}}$ ． （2） $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}\right)^{1 / x}(a, b>0)$ ． （3） $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}(a>0)$ ．

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【29869】 【 数学分析-极限与收敛准则】 解答题 (1) $I=\lim _{x \rightarrow 0+}\left(x^x-1\right) \ln x$. (2) $I=\lim _{x \rightarrow 0+} x^{x^x-1}$.

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【29868】 【 数学分析-极限与收敛准则】 解答题 (1) $I=\lim _{x \rightarrow 0}[\ln ( e +x)]^{\cot x}$. (2) $I=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x e ^x+1}{x \pi^x+1}\right)^{1 / x^2}$.

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【29867】 【 数学分析-极限与收敛准则】 解答题 （1）$I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right)^x$ ． （2）$I=\lim _{x \rightarrow 0}(\sqrt{1+x}-x)^{1 / x}$ ．

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【29866】 【 数学分析-极限与收敛准则】 解答题 （1）$I=\lim _{x \rightarrow 0-}\left( e ^x+2 x\right)^{1 / x}$ ． （2）$I=\lim _{x \rightarrow 1}(2-x)^{\tan (\pi x / 2)}$ ．

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【29865】 【 数学分析-极限与收敛准则】 解答题 计算下列函数极限： （1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\pi \cos x / 2)}{\sin \left(\sin ^2 x\right)}$ ． （2） $\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \cot (2 x) \cdot \cot \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ ．

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【29864】 【 数学分析-极限与收敛准则】 解答题 计算下列函数极限： （1） $\lim _{x \rightarrow 0+} x^{\sin x}$ ． （2） $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \ln \left(\cos \frac{\pi}{x}\right)$ ．

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【29863】 【 数学分析-极限与收敛准则】 解答题 试求下列极限： （1）$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 3 x-\cos 7 x}{x^2}$ ． （2）$I=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin (x-a)}{x^2-a^2}$ ． （3）$I=\lim _{x \rightarrow 0+}(\sin x)^{1 / \ln x}$ ． （4）$I=\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x-x \cos \sqrt{x}}$ ．

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【29862】 【 数学分析-极限与收敛准则】 证明题 试证明下列命题： （1）不存在极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \sin (1 / x)$ ． （2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)=0$ ．

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