【29841】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 解答题 试证明下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 不收敛： （1）$\{\tan n\}$ ． （2）$\left\{\sin 4^n\right\}$ ．

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【29840】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 解答题 试论数列 $a_{n+1}=A a_n+B(n \in N , B \neq 0)$ 的敛散性。

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【29839】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 解答题 解答下列问题： （1）设 $a_1+a_2+a_3=0$ ，试论 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n\left(I_n=a_1 \sqrt{n}+a_2 \sqrt{n+1}+a_3 \sqrt{n+2}\right)$ 。 （2）试定 $a, b, c$ 之值，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n=2\left(I_n=n\left(a n+\sqrt{2+b n+c n^2}\right)\right.$ 。 （3）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_1 a_1^{n+1}+p_2 a_2^{n+1}+\cdots+p_k a_k^{n+1}}{p_1 a_1^n+p_2 a_2^n+\cdots+p_k a_k^n}=a_{k_0} \triangleq \max \left\{a_1, a_2, \cdots, a_k\right\}\left(a_i>0\right.$, $\left.p_i>0(i=1,2, \cdots, k)\right)$.

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【29838】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 解答题 试求下述（和式）数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ： （1）$a_n=\frac{1}{n^n} \sum_{k=1}^n k^k$ ． （2）$a_n=\left(\sum_{k=1}^m a_k b_k^n\right)^{1 / n}\left(a_k, b_k>0\right)$ ． （3）$a_n=\sqrt[n]{\sum_{k=1}^n k^n} / n$ 。 （4）$a_n=\sum_{k=1}^n \sqrt{(n x+k)(n x+k+1)}(x>0)$ ．

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【29837】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 解答题 试求下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ： （1）$a_n=\sqrt[n]{2 \sin ^2 n+\cos ^2 n}$ ． （2）$a_n=(n+1+n \cos n)^{1 /(2 n+n \cdot \sin n)}$ ． （3）$a_n=n^{p / n^k}(p, k \in N )$ 。

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【29836】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 解答题 试求下列极限： （1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^\alpha-n^\alpha\right](0<\alpha<1)$ 。 （2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{n}-1)^2$ ． （3）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^n}{(1+a) \cdots\left(1+a^n\right)}(a>0)$ ． （4）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!}$ ．

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【29835】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 解答题 试求下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 之极限： $a_{n+1}=2+\frac{1}{a_n}(a>0)$ 。

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【29834】 【 周民强《数学分析同步训练》精选-极限】 证明题 试证明下列极限式： （1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ 。 （2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n+1]{n^2+n}=1$ 。

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【29833】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 证明 $y=\sqrt{x}$ 不是有理函数．

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【29831】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 试证明下列不等式： （1）$\frac{n^2}{x_1+\cdots+x_n} \leqslant \frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}\left(x_k>0, k=1,2, \cdots, n\right)$ ． （2）$\frac{1}{\frac{\alpha_1}{x_1}+\cdots+\frac{\alpha_n}{x_n}} \leqslant x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n} \leqslant \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_n x_n\left(\alpha_k>0, x_k>0(k=1,2, \cdots, n)\right.$, $\left.\sum_{k=1}^n \alpha_k=1\right)$. （3）$x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}+y_1^{\alpha_1} \cdots y_n^{\alpha_n} \leqslant\left(x_1+y_1\right)^{\alpha_1} \cdots\left(x_n+y_n\right)^{\alpha_n}\left(\sum_{k=1}^n \alpha_k=1 ; \alpha_k>0, x_k>0, y_k>0, k=\right.$ $1,2, \cdots, n)$.

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