【29830】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 下列定义在 $(-\infty, \infty)$ 上的函数 $f(x)$ 均为非周期函数： （1）$f(x)=\sin x^2$ ． （2）$f(x)=\sin x+\sin \sqrt{2} x$ ．

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【29829】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 设 $f(x)$ 是 $(-\infty, \infty)$ 上非常数的递增函数，则存在实数 $a$ 与 $c>0$ ，使得 $$ f(a+x)-f(a-x) \geqslant c x \quad(0 \leqslant x \leqslant 1) . $$

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【29828】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 试证明下列命题： （1）$f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 是 $(-\infty, \infty)$ 上的奇函数。 （2）设 $a^2 \neq b^2, f(x)$ 定义在 $(-\infty, \infty)$ 上，且有 $$ f(0)=0, \quad a f(x)+b f(1 / x)=c / x \quad(x \neq 0), $$ 则 $f(x)$ 是奇函数。

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【29827】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 试求 $a, b$ 之值，使方程 $\log _a x=x^b$ 有正解 $x$ 。

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【29826】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 试证明下列命题： （1）设定义在 $(-\infty, \infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $$ f(x) \leqslant x, \quad f(x+y) \leqslant f(x)+f(y), $$ 则 $f(x) \equiv x(-\infty<x<\infty)$ 。 （2）若 $f(x)$ 是从 $(-\infty, \infty)$ 到 $(-\infty, \infty)$ 上的一一对应函数，则 $$ f\left(x^2\right)-f^2(x)<1 / 4 \quad(-\infty<x<+\infty) $$

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【29825】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 设 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ，则 $n$ 次复合函数为 $$ (f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f)(x)=\frac{x}{\sqrt{1+n x^2}} $$ 证明 当 $n=1$ 时，即 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ，满足该结论．

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【29824】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 证明 对任给的实数 $x$ 以及正整数 $N: N>1$ ，必存在整数 $p, q: 0<q<N$ ，使得 $$ |q x-p|<1 / N . $$

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【29823】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 （无理数的稠密性）设 $a, b$ 是实数，$a<b$ ，则有无理数 $c: a<c<b$ ．

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【29822】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 (有理数的稠密性）设 $a, b$ 是实数，$a<b$ ，则存在有理数 $r: a<r<b$ ．

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【29821】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 试证明下列命题： （1）正有理数全体 $Q$ 是可列集。 （2） $Q$ 是可列集。

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