【29820】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 证明 若 $\cos a+\sin a \in Q$ ，则 $\cos ^n a+\sin ^n a \in Q (n \in N )$ ．

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【29819】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 证明 $\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$ 与 $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ 以及 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 都是无理数．

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【29818】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 试证明下列命题： （1）（i）$\sqrt[n]{2} \in R \backslash Q (n \geqslant 2)$ ．（ii）$\sqrt[n]{n} \in R \backslash Q (n \geqslant 2)$ ． （2）存在正无理数 $a, b$ ，使得 $a^b$ 是正整数．

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【29817】 【 《数学分析同步训练》-实数与函数】 证明题 试证明下列命题： （1）若 $n$ 是自然数，则 $\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} \in R \backslash Q$ ． （2）若自然数 $n$ 不是完全平方数，则 $\sqrt{n} \in R \backslash Q$ ． （3）设 $a, b, c$ 是正有理数，若 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=c$ ，则 $\sqrt{a} \in Q , \sqrt{b} \in Q$ 。

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【29816】 【 高中数学第一轮复习 立体几何单元测试】 解答题 如图，在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$\triangle A B C$ 是边长为 2 的等边三角形，$B C \perp B B_1, C C_1=\sqrt{2}, A C_1=\sqrt{6}$ ． （1）证明：平面 $A B C \perp$ 平面 $B B_1 C_1 C$ ； （2）$M, N$ 分别是 $B C, B_1 C_1$ 的中点，$P$ 是线段 $A C_1$ 上的动点，若二面角 $P-M N-C$ 的平面角的大小为 $30^{\circ}$ ，试确定点 $P$ 的位置． [img=/uploads/2025-08/2b0055.jpg][/img]

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【29815】 【 高中数学第一轮复习 立体几何单元测试】 解答题 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D, A C, B D$ 相交于点 $N, D N=2 N B$ ，已知 $P A=A C=A D=3$ ， $B D=3 \sqrt{3}, \angle A D B=30^{\circ}$ ． （1）求证：$A C \perp$ 平面 $P A D$ ； （2）设棱 $P D$ 的中点为 $M$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $M A C$ 所成二面角的正弦值 [img=/uploads/2025-08/3a4ec5.jpg][/img]

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【29814】 【 高中数学第一轮复习 立体几何单元测试】 解答题 在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A C=2, B C=4, \triangle P A C$ 为正三角形，$D$ 为 $A B$ 的中点，$A C \perp P D, \angle P C B=90^{\circ}$ ． （1）求证：$B C \perp$ 平面 $P A C$ （2）求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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【29813】 【 高中数学第一轮复习 立体几何单元测试】 解答题 如图，在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，平面 $A_1 A B B_1 \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, B_1 B=A B=A B_1=4, B C=3$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点． （1）求证：$A B_1 / /$ 平面 $B C_1 D$ ； （2）求三棱锥 $B_1-A_1 C B$ 体积． [img=/uploads/2025-08/36d84d.jpg][/img]

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【29812】 【 高中数学第一轮复习 立体几何单元测试】 填空题 若四棱锥 $P-A B C D$ 的各顶点都在同一个球 $O$ 的表面上，$P B \perp$ 底面 $A B C D, P B=2, A B=C D=1$ ， $A D=2 B C=2 \sqrt{2}, B C / / A D$ ，则球 $O$ 的体积为

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【29811】 【 高中数学第一轮复习 立体几何单元测试】 填空题 已知一个圆台的上、下底面半径之比为 $1: 2$ ，母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，其母线与底面所成的角为 $45^{\circ}$ ，则这个圆台的体积为 $\qquad$

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