【30385】 【 光滑曲线与函数的凸凹性】 解答题 试求下列极限 $I$ ： （1）$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^n-\sin ^n x}{x^{n+2}}$ ． （2）$I=\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\cos (1-\sin x)}{\sin ^4(\cos x)}$ ．

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【30384】 【 光滑曲线与函数的凸凹性】 解答题 解答下列问题： （1）求函数（i）$f(x)=x^6 \cdot \sin (1 / x)(x \neq 0), f(0)=0$ 。（ii）$f(x)= e ^{x^2|x|}$ 的 $Ma ^{-}$ claurin 展式。 （2）求由方程 $x^3+y^3+x y-1=0$ 确定的 $y=y(x)$ 的 Maclaurin 展式。 （3）设 $f(x)$ 在 $U(0)$ 上可导，且存在 $f^{\prime \prime}(0)$ ，试证明 $$ f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) \sin x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \sin ^2 x+o\left(x^2\right) \quad(x \rightarrow 0) . $$ （4）求函数 $f(x)=\sqrt{\frac{x}{4-x}}-\sqrt{\frac{4-x}{x}}$ 在 $x=2$ 处的 Taylor 展式到 $o((x-$ 2）${ }^{2 n+2}$ 项。

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【30383】 【 光滑曲线与函数的凸凹性】 解答题 解答下列问题： （1）试论下列方程的实根数： （i）$x^3-6 x^2+9 x-10=0$ ． （ii） $\ln x=k x(x>0)$ ． （2）试证明方程 $e ^x=x^n$ 至多有三个根。 （3）设 $f(x)=\max \left\{7 x-6 x^2,|x|^3\right\}$ ，试求 $f^{\prime}(x)=0$ 之根。

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【30382】 【 光滑曲线与函数的凸凹性】 解答题 解答下列问题： （1）试问 $a$ 取何值时，使曲线 $y=f(x)= e ^x+a x^3$ 有拐点。 （2）试证明非线性奇次多项式必有拐点。 （3）设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 二次可导，且有 $$ f^{\prime}(0)=0, \quad f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x \quad(-\infty<x<\infty), $$ 试证明 $x=0$ 是 $y=f(x)$ 的拐点。

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【30381】 【 光滑曲线与函数的凸凹性】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上四次可导，$x_0 \in(a, b)$ ，且有 $$ f^{(2)}\left(x_0\right)=0, \quad f^{(3)}\left(x_0\right)=0, \quad f^{(4)}(x)>0 \quad(a<x<b), $$ 则 $f(x)$ 是下凸函数。 （2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上二次可导，且有 $$ f(x) \leqslant 0, \quad f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0 \quad(-\infty<x<\infty), $$ 则 $f(x) \equiv C$（常数）． （3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，则存在 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的上凸点或下凸点。 （4）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导。若对 $(a, b)$ 中的 $x, y(x \neq y)$ ，存在唯一的 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\prime}(\xi)$ ，则 $f(x)$ 是严格上凸或下凸。

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【30380】 【 光滑曲线与函数的凸凹性】 解答题 设 $y=f(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上二次可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ．若在 $x \rightarrow+\infty$ 时，曲线 $y=f(x)$ 以直线 $y=a x+b$ 为渐近线，则此曲线严格的从上方无限地接近该渐近线。

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【30379】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 解答题 由文化和旅游部会同国家体育总局共同编制的《滑雪旅游度假地等级划分》（以下简称《标准》）日前发布实施。《标准》的发布得到旅游业界的广泛关注，将有力推动我国冰雪旅游高质量发展，助力北京2022年冬奥会举办．为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．促销期间滑雪场的收费标准是： [img=/uploads/2025-08/a24920.jpg][/img] 不足 1 小时的部分按 1 小时计算．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{6} ; 1$ 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ，两人滑雪时间都不会超过 3 小时． （1）求甲、乙两人所付的滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 $X$ ，求 $N$ 的分布列和期望（结果用分数表示）．

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【30378】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 解答题 中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌＂天宫课堂＂正式推出．中国空间站首次太空授课活动于 2021年12月9日面向全球进行直播．为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取 10 名学生进行调查，发现有 6 名学生观看了直播， 4 名学生未观看直播． （1）若从这 10 名学生中任选 2 名学生，求至多有 1 名学生未观看直播的概率； （2）若从这 10 名学生中任选 3 名学生，记其中观看了直播的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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【30377】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 解答题 袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是

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【30376】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 填空题 一个袋子中有大小和质地相同的 5 个球，其中有 3 个红色球， 2 个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出 2个球，则第 2 次摸到红色球的概率为

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