试证明下列命题：
（1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上四次可导，$x_0 \in(a, b)$ ，且有

$$
f^{(2)}\left(x_0\right)=0, \quad f^{(3)}\left(x_0\right)=0, \quad f^{(4)}(x)>0 \quad(a < x < b),
$$


则 $f(x)$ 是下凸函数。
（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上二次可导，且有

$$
f(x) \leqslant 0, \quad f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0 \quad(-\infty < x < \infty),
$$


则 $f(x) \equiv C$（常数）．
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，则存在 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的上凸点或下凸点。
（4）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导。若对 $(a, b)$ 中的 $x, y(x \neq y)$ ，存在唯一的 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\prime}(\xi)$ ，则 $f(x)$ 是严格上凸或下凸。