解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=f(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上二次可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ．若在 $x \rightarrow+\infty$ 时，曲线 $y=f(x)$ 以直线 $y=a x+b$ 为渐近线，则此曲线严格的从上方无限地接近该渐近线。
试证明下列命题：
（1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上四次可导，$x_0 \in(a, b)$ ，且有
$$
f^{(2)}\left(x_0\right)=0, \quad f^{(3)}\left(x_0\right)=0, \quad f^{(4)}(x)>0 \quad(a < x < b),
$$
则 $f(x)$ 是下凸函数。
（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上二次可导，且有
$$
f(x) \leqslant 0, \quad f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0 \quad(-\infty < x < \infty),
$$
则 $f(x) \equiv C$（常数）．
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，则存在 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的上凸点或下凸点。
（4）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导。若对 $(a, b)$ 中的 $x, y(x \neq y)$ ，存在唯一的 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\prime}(\xi)$ ，则 $f(x)$ 是严格上凸或下凸。
解答下列问题：
（1）试问 $a$ 取何值时，使曲线 $y=f(x)= e ^x+a x^3$ 有拐点。
（2）试证明非线性奇次多项式必有拐点。
（3）设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 二次可导，且有
$$
f^{\prime}(0)=0, \quad f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x \quad(-\infty < x < \infty),
$$
试证明 $x=0$ 是 $y=f(x)$ 的拐点。
解答下列问题：
（1）试论下列方程的实根数：
（i）$x^3-6 x^2+9 x-10=0$ ．
（ii） $\ln x=k x(x>0)$ ．
（2）试证明方程 $e ^x=x^n$ 至多有三个根。
（3）设 $f(x)=\max \left\{7 x-6 x^2,|x|^3\right\}$ ，试求 $f^{\prime}(x)=0$ 之根。
解答下列问题：
（1）求函数（i）$f(x)=x^6 \cdot \sin (1 / x)(x \neq 0), f(0)=0$ 。（ii）$f(x)= e ^{x^2|x|}$ 的 $Ma ^{-}$ claurin 展式。
（2）求由方程 $x^3+y^3+x y-1=0$ 确定的 $y=y(x)$ 的 Maclaurin 展式。
（3）设 $f(x)$ 在 $U(0)$ 上可导，且存在 $f^{\prime \prime}(0)$ ，试证明
$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) \sin x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \sin ^2 x+o\left(x^2\right) \quad(x \rightarrow 0) .
$$
（4）求函数 $f(x)=\sqrt{\frac{x}{4-x}}-\sqrt{\frac{4-x}{x}}$ 在 $x=2$ 处的 Taylor 展式到 $o((x-$ 2）${ }^{2 n+2}$ 项。
试求下列极限 $I$ ：
（1）$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^n-\sin ^n x}{x^{n+2}}$ ．
（2）$I=\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\cos (1-\sin x)}{\sin ^4(\cos x)}$ ．
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C^{(3)}([-1,1])$ ，且 $f(-1)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，则存在 $\xi \in (-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三次可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)=f(a)+(b-a) f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{(b-a)^3}{24} f^{\prime \prime \prime}(\xi) .
$$
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C^{(2)}((0, \infty))$ ，且 $f(x)>0(x \in(0, \infty))$ 。若有
$$
f^{\prime}(x) \leqslant 0, \quad\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M \quad(x \in(0, \infty))
$$
则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上二次可导 。若存在 $\alpha \in R$ ，使得
（i）$f(x)=o\left(x^\alpha\right)$ ；（ii）$f^{\prime \prime}(x)=O\left(x^{\alpha-2}\right)\left(x \rightarrow\left\{\begin{array}{c}0+ \\ +\infty\end{array}\right)\right.$ 。
则 $f^{\prime}(x)=o\left(x^{a-1}\right)\left(x \rightarrow\left\{\begin{array}{c}0+ \\ +\infty\end{array}\right)\right.$ 。