解答下列问题：
（1）试问 $a$ 取何值时，使曲线 $y=f(x)= e ^x+a x^3$ 有拐点。
（2）试证明非线性奇次多项式必有拐点。
（3）设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 二次可导，且有
$$
f^{\prime}(0)=0, \quad f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x \quad(-\infty < x < \infty),
$$
试证明 $x=0$ 是 $y=f(x)$ 的拐点。