试证明下列命题：
（1）设 $f \in C^{(2)}((0, \infty))$ ，且 $f(x)>0(x \in(0, \infty))$ 。若有

$$
f^{\prime}(x) \leqslant 0, \quad\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M \quad(x \in(0, \infty))
$$


则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上二次可导 。若存在 $\alpha \in R$ ，使得
（i）$f(x)=o\left(x^\alpha\right)$ ；（ii）$f^{\prime \prime}(x)=O\left(x^{\alpha-2}\right)\left(x \rightarrow\left\{\begin{array}{c}0+ \\ +\infty\end{array}\right)\right.$ 。
则 $f^{\prime}(x)=o\left(x^{a-1}\right)\left(x \rightarrow\left\{\begin{array}{c}0+ \\ +\infty\end{array}\right)\right.$ 。