【30395】 【 不定积分】 解答题 试求下列不定积分： （1）$I=\int e ^x \sin x d x$ ． （2）$I=\int x^2 e ^{2 x} \cdot \sin ^2 x d x$ ． （3）$I=\int x e ^{a x} \cdot \cos b x d x, J=\int x e ^{a x} \sin b x d x(a \neq 0)$ ．

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【30394】 【 不定积分】 解答题 试求下列不定积分： （1）$I=\int x \cdot \cos x d x$ ． （2）$I=\int\left(2 x+3 x^2\right) \arctan x d x$ ．

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【30393】 【 不定积分】 解答题 $ I=\int e^{\sqrt{x}} d x $

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【30392】 【 不定积分】 解答题 试求不定积分 $I=\int \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}} d x$（其中根号 $\sqrt{ }$有 $n$ 重）。

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【30391】 【 不定积分】 解答题 试求下列不定积分： （1）$I=\int \frac{ d x}{2+\cos ^2 x}$ ． （2）$I=\int \frac{ d x}{\sin (2 x) \cdot \cos x}$ ．

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【30390】 【 不定积分】 解答题 (1) $I=\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x^6-7 x^4+x^2}} d x$. (2) $I=\int \frac{ d x}{x \sqrt{x^2-1}}$.

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【30389】 【 不定积分】 解答题 试证明下列命题： （1）（函数方程）设 $f(x)$ 是（ $-\infty, \infty$ ）上的可微函数，且满足 $$ f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \quad x, y \in(-\infty, \infty), $$ 则 $f(x)=x^2+f^{\prime}(0) x$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0$ ，则对在 $[a, b]$上任一连续函数 $\varphi(x)$ ，有 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+\varphi(\xi) f(\xi)=0$ 。

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【30388】 【 不定积分】 解答题 求下列函数 $f(x)$ 的不定积分： （1）$f(x)=|x|$ ． （2）$f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$ ． （3）$f(x)=\frac{1}{ e ^x-1}$ ． （4）$f(x)=[\sin x+\cos x] e ^x$ ．

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【30387】 【 光滑曲线与函数的凸凹性】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C^{(2)}((0, \infty))$ ，且 $f(x)>0(x \in(0, \infty))$ 。若有 $$ f^{\prime}(x) \leqslant 0, \quad\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M \quad(x \in(0, \infty)) $$ 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上二次可导 。若存在 $\alpha \in R$ ，使得 （i）$f(x)=o\left(x^\alpha\right)$ ；（ii）$f^{\prime \prime}(x)=O\left(x^{\alpha-2}\right)\left(x \rightarrow\left\{\begin{array}{c}0+ \\ +\infty\end{array}\right)\right.$ 。 则 $f^{\prime}(x)=o\left(x^{a-1}\right)\left(x \rightarrow\left\{\begin{array}{c}0+ \\ +\infty\end{array}\right)\right.$ 。

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【30386】 【 光滑曲线与函数的凸凹性】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f \in C^{(3)}([-1,1])$ ，且 $f(-1)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，则存在 $\xi \in (-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三次可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(b)=f(a)+(b-a) f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{(b-a)^3}{24} f^{\prime \prime \prime}(\xi) . $$

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