试证明下列命题：
（1）（函数方程）设 $f(x)$ 是（ $-\infty, \infty$ ）上的可微函数，且满足

$$
f(x+y)=f(x)+f(y)+2 x y, \quad x, y \in(-\infty, \infty),
$$


则 $f(x)=x^2+f^{\prime}(0) x$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0$ ，则对在 $[a, b]$上任一连续函数 $\varphi(x)$ ，有 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+\varphi(\xi) f(\xi)=0$ 。