【30365】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 单选题 设随机变量X的概率分布列为 [img=/uploads/2025-08/a546de.jpg][/img] 则 $P (| X -3|=1)$ 的值为

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【30364】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 解答题 某学校组织＂一带一路＂知识竞赛，有 $A, B$ 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束 $A$ 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；$B$ 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知小明能正确回答 $A$ 类问题的概率为 0.8 ，能正确回答 $B$ 类问题的概率为 0.6 ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答 $A$ 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

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【30363】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 解答题 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 $0.5,0.4,0.8$ ，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用 $X$ 表示乙学校的总得分，求 $X$ 的分布列与期望．

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【30362】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 单选题 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $p$ ，各成员的支付方式相互独立，设 $X$ 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，$D X=2.4, P(X=4)<P(X=6)$ ，则 $p=$

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【30361】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 填空题 盒中有 4 个球，其中 1 个红球， 1 个绿球， 2 个黄球．从盒中随机取球，每次取 1 个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 $\xi$ ，则 $P(\xi=0)=$ $\qquad$ ，$E(\xi)=$ $\qquad$ ．

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【30360】 【 高中数学第一轮复习 随机变量及其概率分布、均值与方差】 单选题 设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是 [img=/uploads/2025-08/362e4f.jpg][/img] 则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时，

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【30359】 【 微分中值定理】 解答题 设 $f(x)=a \cos ^2 x+2 b \cos x \cdot \sin x+c \sin ^2 x$ 。 （1）试问在什么条件下，$f(x)$ 是一个常数？ （2）在不是（1）的情形，试求 $f(x)$ 的极值。

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【30358】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列命题： （1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导。若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调，则 $f^{\prime} \in C((a, b))$ 。 （2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二次可导。若 $f^{\prime \prime}(x) \neq 0(a \leqslant x \leqslant b)$ ，则对任意的 $\xi \in(a$ ， $b)$ ，存在 $\xi^{\prime}: a<\xi<\xi^{\prime} \leqslant b$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f\left(\xi^{\prime}\right)-f(a)}{\xi^{\prime}-a}$ 。 （3）（i）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且有 $$ x_i \in(a, b), \quad \lambda_i>0 \quad(i=1,2, \cdots, n) ; \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i=1, $$ 则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\sum_{i=1}^n \lambda_i f^{\prime}\left(x_i\right)=f^{\prime}(\xi)$ ． （ii）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且有 $x_i<y_i, x_i, y_i \in(a, b)(i=1,2, \cdots, n)$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \sum_{i=1}^n\left[f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right]=f^{\prime}(\xi) \sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i\right) . $$

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【30357】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列不等式： （1） $0 \leqslant e ^{-t}-(1-t / n)^n \leqslant t^2 e ^{-t} / n \quad(n \in N , t \in[0, n])$ 。 （2） $e ^{-t}-(1-t / n)^n \leqslant t e ^{-t / 2} \sqrt{n} \quad(n \geqslant 36, t \in[0, n])$ 。

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【30356】 【 微分中值定理】 解答题 试证明下列不等式： （1） $\cos ^p \theta \leqslant \cos (p \theta)(0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 2 ; 0<p<1)$ 。 （2） $\cos x+\cos y \leqslant 1+\cos (x y)\left(x^2+y^2 \leqslant \pi\right)$ ． （3） $1 / \sin ^2 x \leqslant 1 / x^2+1-4 / \pi^2(0<x \leqslant \pi / 2)$ ． （4）$f(s+t)<f(s)+f(t)(s, t>0, s+t<1)$ ，其中 $$ f(x)=x-x^3 / 6+\left(x^4 / 24\right) \sin (1 / x)(x>0) . $$

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