单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 x^n-2 x^{-n}}{2 x^n+x^{-n}} \cos \frac{1}{x^2}$ ，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 两个第一类间断点．
$\text{B.}$ 三个第一类间断点．
$\text{C.}$ 两个第一类间断点和一个第二类间断点。
$\text{D.}$ 一个第一类间断点和一个第二类间断点。
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\sin (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[f\left(\frac{1}{n^2}\right)-\mathrm{e}\right]=$
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}$ ．
$\text{B.}$ $e(1-e)$ ．
$\text{C.}$ e．
$\text{D.}$ 2 e ．
已知函数 $f(x)=\frac{\left(x^2+a^2\right)(x-1)}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+b}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=0, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a \neq 0, b=-\mathrm{e}$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b=-\mathrm{e}$ ．
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $x \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界
$\text{B.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 为无穷大量
$\text{C.}$ $\int_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ 在 $(0,2026]$ 上无界
$\text{D.}$ $\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界
已知函数 $f(x)=\frac{1}{x^2} \arctan \frac{1}{x-\frac{1}{x}}$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点；$x=1$ 和 $x=-1$ 是第二类间断点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点；$x=1$ 和 $x=-1$ 是第一类间断点．
$\text{C.}$ $x=0, x=1$ 及 $x=-1$ 全都是 $f(x)$ 的第一类间断点．
$\text{D.}$ $x=0, x=1$ 及 $x=-1$ 全都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
已知函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{|x|\left(x^2-3 x+2\right)}$ 的无穷间断点个数有 $k_1$ 个，可去间断点个数
有 $k_2$ 个，再设函数 $y=g(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=k_2+t^{k_2+2} \\ y=e^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则极限
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{k_2}\left[g\left(k_1+\frac{k_1}{x}\right)-g\left(k_1\right)\right]=
$$
$\text{A.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{2 \mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{4 \mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{D.}$ $2 e $．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\frac{4+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{2-\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{\sin |x|}{x}$ 的渐近线
若 $a>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{n \cdot(\sqrt[n]{a}-1)}=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+2 \sin ^2 x}}{\tan ^2 x}$ ．
设
$$
f(x)= \begin{cases}\sin x+2 a \mathrm{e}^x, & x < 0, \\ 9 \arctan x+2 b(x-1)^3, & x \geqslant 0 .\end{cases}
$$
确定 $a, b$ 的值，使 $f^{\prime}(0)$ 存在．