单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0 .\end{array}\right.$ 则 $f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$
$\text{A.}$ 不存在．
$\text{B.}$ 存在等于 2 ．
$\text{C.}$ 存在等于 1 ．
$\text{D.}$ 存在等于 0 ．
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$ ，则
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
$\text{D.}$ 根据所给条件无法判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量 $\boldsymbol{n}=\{1,2,2\}$ 的方向导数为
$\text{A.}$ 12 ．
$\text{B.}$ 6 ．
$\text{C.}$ 4 ．
$\text{D.}$ 2 ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left. \operatorname{grad}\left(x y+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(u)$ 具有二阶连续导数，且 $g(x, y)=f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{x}{y}\right)$ ，求 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ．
求函数 $f(x, y)=\left(y-x^2\right)\left(y-x^3\right)$ 的极值．
求曲线 $x^3-x y+y^3=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x, y)= \begin{cases}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0 .\end{cases}$
证明：函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处偏导数不连续，但 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．