单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设对任意的 $x$ ，总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$ ， 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}[g(x)-\varphi(x)]=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不一定为零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
设函数 $f(x)$ 连续，则下列函数中，必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] \mathrm{d} t$
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，" $M \Leftrightarrow N$ " 表示 $" M$ 的充分必要条件是 $N "$ ，则必有
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数
当 $x \rightarrow 0$ 时, $a \int_0^{x^2} \cos t^2 d t$ 与 $\sin x-b \ln (1+x)$ 是等价无穷小, 则 $(a, b)=$
$\text{A.}$ $(1,2)$.
$\text{B.}$ $(-1,2)$.
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{D.}$ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$.
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f^{\prime}(\ln x)=1+x$ ，则 $f(x)=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域.
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
\int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x .
$$
假设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 内存在且大于零，记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$. 证明 $F(x)$在 $(a,+\infty)$ 内单调增加.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t \text { ， }
$$
试证：(1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；
(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减.