单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 对任意的 $x$ 满足 $f(1+x)=a f(x)$ 且 $f^{\prime}(0)=b$ ，其中 $a, b$ 为非零常数，则 $f^{\prime}(1)$
$\text{A.}$ 不存在；
$\text{B.}$ 等于 $a$ ；
$\text{C.}$ 等于 $b$ ；
$\text{D.}$ 等于 $a b$ ．
设 $y=x^3 \sin 2 x$ ，则 $y^{(20)}(x)$ 的表达式中 $x \sin 2 x$ 的系数为
$\text{A.}$ $2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{B.}$ $-2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{C.}$ $2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{D.}$ $-2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
设 $y=x^3 \sin 2 x$ ，则 $y^{(20)}(x)$ 的表达式中 $x \sin 2 x$ 的系数为
$\text{A.}$ $2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{B.}$ $-2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{C.}$ $2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{D.}$ $-2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设方程 $x^3+y^3-3 x+6 y=2$, 则 $\left.\frac{d^2 x}{d y^2}\right|_{x=2}=$
设 $f(x)=\arccos \left(\frac{\cos x-1}{x^2}\right)(x \neq 0)$ ，欲使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，需要定义 $\boldsymbol{f}(\mathbf{0})=$
函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geqslant 3)=$
设 $g(x)=f\left(\phi^2(x)-\phi\left(x^2\right)\right)$ ，其中 $f(u), \phi(x)$ 都是可导函数，求 $g^{\prime}(x)$
设 $\phi(x)$ 及 $\psi(x)$ 均为可导函数，$y(x)=\sqrt{\phi^2(x)+\psi^2(x)}$ ，求 $\mathrm{d} y$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\arcsin \sqrt{1-x^2}-\ln \left(x^2+1\right)$ ，求 $d f(x)$ ；
设 $f(t)=\lim _{x \rightarrow+\infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ；