单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\sqrt{x^2-2 x+4}+x$ 的渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曲线$y=x\ln\left(e+\dfrac{1}{x-1}\right)$的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+e$
$\text{B.}$ $y=x+\dfrac{1}{e}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\dfrac{1}{e}$
设函数 $y(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left[1-\frac{\ln (1-t)}{x^2}\right]^{\frac{x}{\operatorname{lin} t}}$, 下列关于曲线 $y=y(x)$ 的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.
$\text{A.}$ (2).
$\text{B.}$ (3).
$\text{C.}$ (2)(3).
$\text{D.}$ (2)(4).
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+2)^n$ 在 $x=1$ 处收敛，则该级数在 $x=-4$ 处 ．
$\text{A.}$ 发散；
$\text{B.}$ 绝对收敛；
$\text{C.}$ 条件收敛；
$\text{D.}$ 敛散性不能判定．
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n 2^n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad$（ ）。
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不确定
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $f(x)=2 x+\sqrt{x^2-2 x+3}$ 的渐近线为?
$y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为。
讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\ln ^2 n}$ 收敛性。
求极限$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln \left(1+\sin ^2 x\right)}-\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}\right]$
级数 $\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\right)^3$ 中 $x^{20}$ 的系数为
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2+p}}$ 收敛，则常数 $p$ 的最大取值范围是
解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n \text { ! }}{n^n}$ 的敛散性，其中 $a>0$.
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(n+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n}}$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛).
讨论级数 $1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+\cdots+n}+\cdots$ 的敛散性. 若收敛, 求其和.
设正数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足
$$
a_n=\frac{a_{n+1}^2}{n}+a_{n+1},(n=1,2,3, \cdots) .
$$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \ln n$.
设 $x>0$ ，试讨论级数
$$
1-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^x}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^x}+\cdots
$$
的敛散性.
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ 的敛散性.
设可微函数 $f(x)$ 是方程 $\left(x-2 y^3\right) d x+3 x y^2 d y=0$ 的解, 且 $f(1)=1$ 。
（1）求 $f(x)$ 的表达式;
（2）讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(f\left(n^3\right)\right)^{\ln n}}{(\ln n)^n}$ 收敛性。
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
(1) 设 $f_1(t)=\frac{t+3}{2}, f_2(t)=\frac{t+6}{3},\left\{n_k\right\}$为取值于 $\{1,2\}$ 的整数列。令 $F_1(t)=f_{n_1}(t), F_{k+1}(t)=$ $F_k\left(f_{n_{k+1}}(t)\right)(k \geqslant 1)$. 证明: 对任何 $x \in R$, 极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} F_k(x)$存在且与 $x$ 无关.
(2) 若题 (1) 中的 $f_1, f_2$ 改为 $f_1(t)=t-\arctan t, f_2(t)=2 \arctan t-t$, 结论如何?
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos ^x \frac{\pi}{\sqrt{x}}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n!}$.
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1} \sin \frac{\pi}{2} x+\cos (a+b x)}{x^{2 n}+1}$ (其中 $a 、 b$ 为常数, $\left.0 < a < 2 \pi\right)$,
(1)求 $f(x)$ 的表达式;
(2)确定 $a, b$ 之值, 使 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1), \lim _{x \rightarrow-1} f(x)=f(-1)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[(1+x \sin x)^x-1\right]}{x^3}$ 之值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[(\cos x)^{\sin x}-1\right]}{x^3}$ 之值.
求极限$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \sin x^2}$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, b>0, c>0)$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)= e$ ．又 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]$ ，确定常数 $\alpha$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 的某邻域内连续，且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=3$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin x^2+\cos x\right)}{x^2}=$
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+3 f\left(1-\sin x^2\right)}}{\ln \cos x}$ ．
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ 的敛散性．
判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ 的敛散性．
根据 $\alpha$ 的取值讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{\alpha}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)(\alpha>0)$ 的敛散性，若非正项级数，需讨论绝对收敛性和条件收敛性．
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ 的和．
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，其中 $a_n=\sin ^2 x \sin ^2 2 x \ldots \sin ^2 2^n x, x \in(-\infty,+\infty)$
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $F_n$ 为斐波那契数列，满足：
$$
F_0=1, F_1=1, F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\left(n>1, n \in \mathbb{N}_{+}\right) .
$$
（1）证明：当 $n \geq 1$ 时，有 $\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \leq F_n \leq 2^{n-1}$ ．
（2）问级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F_n}$ 和 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln \left(F_n\right)}$ 是否收敛？为什么？
（3）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_n F_{n+2} F_{n+3}}$ 的和．
设 $\left\{a_n\right\}$ 是单调递减的正值数列，求证：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n-a_{n+1}}{\sqrt{a_n}}$ 收敛．