2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n \text { ! }}{n^n}$ 的敛散性，其中 $a > 0$.

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我来讲解

答案：

设 $x_n=\frac{a^n n \text { ! }}{n^n}$ ，则
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\dfrac{\dfrac{a^{n+1}(n+1) !}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{a^n n !}{n^n}}\right|
$$

$$
\begin{aligned}
& =\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a^{n+1}(n+1) !}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{a^n n !}\right| \\
& =a \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n}=a \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{a}{e}
\end{aligned}
$$

故当 $a < e$ 时，原级数收玫; 当 $a > e$ 时，原级数发散.
当 $a=e$ 时，由斯特林公式可知:
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n !}{n^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n n !}{n^n} & \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n} \\
& =\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{2 \pi n} \rightarrow+\infty
\end{aligned}
$$
所以当 $a=e$ 时，原级数发散.

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