单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶可逆方阵, 则下列等式成立的是
$\text{A.}$ $\left|( A B )^{-1}\right|=| A |^{-1}| B |^{-1}$;
$\text{B.}$ $|- A B |=| A B |$;
$\text{C.}$ $\left|A^2-B^2\right|=|A+B \| A-B|$;
$\text{D.}$ $|2 A|=2|A|$.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}9 & x & 1 \\ x & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right), A^*$ 为方阵 $A$ 的伴随矩阵, 且 $A^* x=0$ 只有零解, 则
$\text{A.}$ $x=-4$;
$\text{B.}$ $x=6$;
$\text{C.}$ $x=-4$ 或 $x=6$;
$\text{D.}$ $x \neq-4$ 且 $x \neq 6$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{A}^2+3 \boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的秩为
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 3 ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶方阵，且 $A^2=A$ ，则 $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}=\mathbf{0}$
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$
若非齐次方程组 $A_{m \times n} X=\beta$ 有无穷多解，则其导出组 $A X=0$
$\text{A.}$ 只有零解
$\text{B.}$ $r(A)=n$
$\text{C.}$ $A$ 的列向量组线性相关
$\text{D.}$ $|A|=0$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{C}^*=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ；
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}|^{-1} \boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & |\boldsymbol{A}|^{-1} \boldsymbol{B}^*\end{array}\right] ;$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ；
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是三维线性空间 $V$ 的基，则（ ）也是 $V$ 的基．
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=2 \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3 ;$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+3 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ．
记行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$为 $f(x)$ ，则方程 $f(x)=0$ 的根的个数为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $(A-3 E)^{-1}\left(A^2-9 E\right)=$
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为三阶矩阵，且 $|A|=3,|B|=-2$ ，则 $\left||A| A^{-1} B^T\right|=$
设 $A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $B^{50} A^{-1}=$
$\left|\begin{array}{cccccc}
a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\
b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a
\end{array}\right|_{n \times n}$
$ \left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right|$
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1\end{array}\right|=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若对矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right)$ 施以初等列变换得矩阵 $B =\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$, 求满足 $A P = B$ 的所有可逆矩阵 $P$.
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]^{ T }, \alpha_2=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 2 & -1\end{array}\right]^{ T }$,
$$
\alpha_3=\left[\begin{array}{llll}
1 & a & 0 & 1
\end{array}\right]^{T}, \alpha_4=\left[\begin{array}{llll}
2 & 7 & 3 & a-2
\end{array}\right]^{T},
$$
$\beta=\left[\begin{array}{llll}3 & 8 & 4 & b-1\end{array}\right]^{ T }$, 讨论 $a, b$ 为何值时 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 唯一线性表示; 能线性表示但不唯一; 不能线性表示.
设 $A , B$ 均为 3 阶矩阵, $E$ 为 3 阶单位矩阵, 已知 $A B =2 A + B , B =\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right]$, 求 $A - E$.
设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶方阵, $A ^*$ 为其伴随矩阵, 证明: 若 $r( A )=n-1$, 则 $r\left( A ^*\right)=1$.
已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1-x_2+2 x_3=-1 \\
3 x_1+x_2+4 x_3=1 \\
a x_1+b x_2+c x_3=d
\end{array}\right.
$$
有两个解 $x_1=(0,1,0)^{ T }, x_2=(-3,2,2)^{ T }$ ．
求此方程组的一般解。
问下列矩阵哪个可以对角化：
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & -1 \\
-7 & 5 & -1 \\
-6 & 6 & -2
\end{array}\right] \quad B =\left[\begin{array}{lll}
1 & -3 & 3 \\
3 & -5 & 3 \\
6 & -6 & 4
\end{array}\right]
$$
已知 5 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩 4 ，又 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是它的 4 个解向量，其中 $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=(1,1,0,2,3), \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=(1,0,1,3,4)$ ，求该非齐次线性方程组的通解．
设 $A$ 为 3 阶矩阵，满足 $A B =-2 B , C A ^{ T }=2 C$ ，其中
$$
B =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 1 & 0 \\
2 & -1 & 1
\end{array}\right), C =\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 4 & -2 \\
-1 & 2 & -1
\end{array}\right)
$$
求矩阵 $A$ ．
求向量组 $\alpha_1=(1,1,1,1)^T, \alpha_2=(1,2,3,4)^T, \alpha_3=(1,3,5,7)^T, \alpha_4= (1,4,7,10)^T$ 的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1-x_2+4 x_3-x_4=1 \\ x_1+x_2-2 x_3+3 x_4=3 \\ 3 x_1-x_2+6 x_3+x_4=5 \\ x_1+3 x_2-8 x_3+7 x_4=5\end{array}\right.$ ，
（1）求方程组的一个解；（2）求方程组对应的齐次线性方程组（即导出组）的一个基础解系；（3）写出方程组的通解．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A^2=A$ 证明：$r(A)+r(A-E)=n \quad$ 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，证明向量组 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+ \alpha_3, \beta_3=\alpha_3+\alpha_1$ 也线性无关。