单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其中 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}, \Phi(x)$ 表 示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得 $P\left(\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 55\right)$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(2)$
$\text{D.}$ $\Phi(2)$
设随机事件 $A, B, C$ 两两相互独立且满足条件 $P(A B C)=0, P(A)=P(B)=P(C) < $ $\frac{1}{2}, P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$, 则 $P(A)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim E(a), Y \sim E(b)(a>0, b>0, a \neq b)$, 则服从 $E(a+b)$ 的 随机变量是
$\text{A.}$ $X+Y$.
$\text{B.}$ $X Y$.
$\text{C.}$ $\max \{X, Y\}$.
$\text{D.}$ $\min \{X, Y\}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $E(X)$ 与 $D(X)$ 都存在, 且 $\bar{X}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$, 若 $E\left(X_1 \bar{X}\right)=35, D\left(X_1-\bar{X}\right)=90$, 则 $E\left(X^2\right)=$
$\text{A.}$ 100
$\text{B.}$ 125
$\text{C.}$ 150
$\text{D.}$ 175
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数, 为了使 $F(x)=a F_1(x)-b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 则下列个组中应取
$\text{A.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$
设 $F_1(x), F_2(x)$ 是随机变量的分布函数，$f_1(x), f_2(x)$ 是相应的概率密度，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 是分布函数
$\text{B.}$ $F_1(x) \cdot F_2(x)$ 是分布函数
$\text{C.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 是概率密度
$\text{D.}$ $f_1(x) \cdot f_2(x)$ 是概率密度
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，概率密度为 $f(x)$ ．当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x)$ 连续，且 $f(x)=F(x)$ ，若 $F(0)=1$ ，则 $f(x)=$ $\qquad$
已知 $X$ 为随机变量，$Y=X^2+X+1$ ，已知 $X$ 的概率分布为 $P\{X=-1\}=P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{3}$ ，则 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立, 其中 $X_1$ 与 $X_2$ 均服从标准正态分布, $X_3$ 的概率分布为 $P\left\{X_3=0\right\}=P\left\{X_3=1\right\}=\frac{1}{2}, Y=X_3 X_1+\left(1-X_3\right) X_2$.
（1）求二维随机变量 $\left(X_1, Y\right)$ 的分布函数, 结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示.
(2) 证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布.
设 $F(x)$ 是分布函数，证明：对于任意 $h>0$ ，函数
$$
G(x)=\frac{1}{2 h} \int_{x-h}^{x+h} F(t) d t
$$
也是某一随机变量的分布函数。
在一部篇幅很大的书籍中，发现只有 $13.5 \%$ 的页数没有印刷错误．如果我们假定每页的错字个数是服从普阿松分布的随机变量，求正好有一个错字的页数的百分比。
建一水坝，预定使用 100 年，问此 100 年中发生＂千年一遇的洪水＂的概率是多少？
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
p(x)= \begin{cases}A x e^{-x} & x>0 \\ 0 & x \leqslant 0\end{cases}
$$
（1）试确定常数 $A$ ；
（2）求分布函数 $F(x)$ ；
（3）求 $P(X>1)$ ．
20．某城市每天用电量不超过百万度，以随机变量 $X$ 表示每天的耗电率（即用电量除以百万度），已知 $X$ 的密度函数为
$$
p(x)= \begin{cases}12 x(1-x)^2 & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}
$$
若该城市每天的供电量仅 80 万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天的供电量为 90 万度，那么供电量不够需要的概率又为多少？
一架轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方的铁路。如果炸弹落在铁路两侧 40 米以内，就可以使铁路交通遭到破坏。已知在一定投弹准确度下，炸弹落地点与铁路距离 $X$ 的密度函数为
$$
p(x)= \begin{cases}\frac{100+x}{10000} & -100 < x \leqslant 0 \\ \frac{100-x}{10000} & 0 < x \leqslant 100 \\ 0 & |x|>100\end{cases}
$$
如果三颗炸弹全部使用，问敌方铁路交通被破坏的概率是多少？
到某服务单位办事总要排队等待．设等待时间 $T$ 是服从参数为 $\frac{1}{10}$ 的指数分布。某人到此办事，等待时间若超过 15 分钟，他就愤然离去．设此人一个月要去该处 10 次．求：
（1）最多有 2 次愤然离去的概率；
（2）愤然离去的次数占多数的概率．
假设一大型设备在任何长为 $t$ 的时间内发生故障的次数 $N(t)$服从参数为 $\lambda t$ 的普阿松分布。若以 $T$ 表示相邻两次故障之间的时间间隔．求：
（1）$T$ 的概率分布；
（2）一次故障修复之后，设备无故障运行 8 小时的概率；
（3）在设备已经无故障运行 $t_0$ 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率
某单位招聘 155 人，按考试成绩录用，共有 526 人报名。假设报名者的考试成绩 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，已知 90 分以上的有 12 人， 60 分以下的有 83 人，若从高分到低分依次录取。某人成绩为 78 分，问此人能否被录取？
已知X分布函数
$$
F(x)= \begin{cases}0 & x < -1 \\ \frac{1}{3} & -1 \leqslant x < 0 \\ \frac{1}{2} & 0 \leqslant x < 1 \\ \frac{2}{3} & 1 \leqslant x < 2 \\ 1 & x \geqslant 2\end{cases}
$$
（1）求 $Y=\left(\sin \frac{\pi}{6} X\right)^2$ 的分布函数；
（2）求 $P(0 \leqslant Y < 0.5)$ ．
设 $X$ 的密度函数为
$$
p_X(x)= \begin{cases}6 x(1-x) & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}
$$
求 $Y=2 X+1$ 的密度函数．
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
p_X(x)= \begin{cases}2 x^3 e^{-x^2} & x>0 \\ 0 & x \leqslant 0\end{cases}
$$
分别求出 $Y=X^2$ 与 $Y=\ln X$ 的密度函数．