题号:2786    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学三卷)
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $E(X)$ 与 $D(X)$ 都存在, 且 $\bar{X}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$, 若 $E\left(X_1 \bar{X}\right)=35, D\left(X_1-\bar{X}\right)=90$, 则 $E\left(X^2\right)=$
$A.$ 100 $B.$ 125 $C.$ 150 $D.$ 175
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答案:
B

解析:

\begin{aligned}
&\text { 【分析】由题设知, }\\
&E\left(X_1 \bar{X}\right)=E\left(\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_1 X_i\right)=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} E\left(X_1 X_i\right)\\
&=\frac{1}{10}\left[E\left(X_1^2\right)+E\left(X_1 X_2\right)+\cdots+E\left(X_1 X_{10}\right)\right]\\
&=\frac{1}{10}\left\{E\left(X_1^2\right)+9[E(X)]^2\right\}=\frac{1}{10}\left\{D(X)+10[E(X)]^2\right\}\\
&=\frac{1}{10} D(X)+[E(X)]^2 \text {, }\\
&D\left(X_1-\bar{X}\right)=D\left(X_1-\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i\right)=D\left(\frac{9}{10} X_1-\frac{1}{10} \sum_{i=2}^{10} X_i\right)\\
&=\left(\frac{9}{10}\right)^2 D(X)+\left(\frac{1}{10}\right)^2 \cdot 9 D(X)=\frac{9}{10} D(X) .\\
&\text { 由于 } E\left(X_1 \bar{X}\right)=35, D\left(X_1-\bar{X}\right)=90 \text {, 故 }\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{10} D(X)+[E(X)]^2=35 \text {, } \\
\frac{9}{10} D(X)=90,
\end{array}\right. \text { 解得 }
\end{aligned}

$D(X)=100,[E(X)]^2=25$. 故 $E\left(X^2\right)=D(X)+[E(X)]^2=100+25=125$. 应选 B.
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