单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
$f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限 $f\left(x_0^{+}\right)$和左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$存在且相等是 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的 $\qquad$条件
$\text{A.}$ 必要
$\text{B.}$ 充分
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 充分不必要
$f(x)=\frac{x \ln |x|}{|x-1|} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)(x-2)}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left\lvert\, \frac{x^2-1 \mid}{x-1}\right., & x \neq 1 \\ 2, & x=1\end{array}\right.$, 则在点 $x=1$ 处函数 $f(x)$
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续，但不可导
$\text{C.}$ 可导，但导数不连续
$\text{D.}$ 可导，且导数连续
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e$
$\text{C.}$ $e^{a-b}$
$\text{D.}$ $e^{b-a}$
设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a>0)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $(0, e)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{e}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$
设 $f(x)$ 可导, $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的 ( ).
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 分条件但非必要条件
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件
已知 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1$, 则函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点, 无零点
$\text{B.}$ 无极值点, 有零点
$\text{C.}$ 有极值点, 有零点
$\text{D.}$ 无极值点, 无零点
过点 $(3,0)$ 作曲线 $f(x)=x \mathrm{e}^x$ 的两条切线, 切点分别为 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right),\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$, 则 $x_1+x_2=(\quad)$
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=(1+\sin x)^x$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=\pi}=$
设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $f^{\prime}(x)=2(x-1)$ ， $x \in[0,2]$ ，则 $f(7)=$
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x \cos x+\mathrm{e}^{-x} \sin x$, 则 $f^{(2023)}(0)=$
曲线 $y=x^2+2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程为
$\int \frac{\ln \left(1-x^2\right)}{2 x^2 \sqrt{1-x^2}} d x=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y \ln y-x+y=0$ 确定，试判断曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,1)$ 附近的凹凸性.
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
$\left\{\begin{array}{c}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定 $y(x)$ 求 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
设 $f(x)$ 连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=\pi$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\sin x)}{\tan ^2 x-\sin ^2 x}$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=2$. 证明：
(1) $\exists \xi \in(0,1)$, 使 $f(\xi)=0$;
(2) $\exists \eta \in(0,1)$, 使 $f^{\prime \prime}(\eta)-f(\eta)=0$.