一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $f(u)$ 可导，若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$ ，则（）
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
设 $z=z(x, y)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=u e ^v, \\ y=u v,(u>0, v>1) \\ z=v\end{array}\right.$ 所确定, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $\frac{x y}{z(1-z)^3}$.
$\text{B.}$ $\frac{x y}{z(z-1)^3}$.
$\text{C.}$ $\frac{z}{x y(1-z)^3}$.
$\text{D.}$ $\frac{z}{x y(z-1)^3}$.
二、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知函数 $f(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数， $f(1,1)=2$ 是 $f(u, v)$ 的极值， $z=f[x+y, f(x, y)]$ ，求 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$.
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数， $y=f\left(e^x, \cos x\right)$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+\mathrm{e}^x-y \ln \left(1+z^2\right)=0$确定，求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0,0)}$.