一、解答题 （ 共 2 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $m, n$ 为正整数且 $m \leq n$, 证明:
$$
\left|\sum_{k=m}^n\left(\cos \frac{k^2 \pi}{2 n}+i \sin \frac{k^2 \pi}{2 n}\right)\right| \leq \frac{n}{m} \text { 。(王枫供题) }
$$
用 $f(n)$ 表示正整数 $n$ 的二进制表示中数码 " 1 " 占所有数码的比例, 例如 $21=(10101)_2$, 则 $f(21)=\frac{3}{5}$.
（1）是否存在由 21 个不超过 2024 的正整数构成的非常值等差数列 $a_1, a_2, \cdots, a_{21}$, 使得 $f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)=\cdots=f\left(a_{21}\right)$ ? 证明你的结论;
（2）是否存在无穷多个正整数 $m$ ，使得 $f\left(m^2\right)>\frac{7}{10}$ ？证明你的结论.（何忆捷供题）