一、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 具有连续的导数, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^2 x+\cos x\right)}{\mathrm{e}^{x^2}-\cos x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)-\tan (\tan x)}{\sin x-\tan x}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^n$ 其中 $a>0, b>0, c>0$ .
已知 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+2 x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right]$.
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right]^{x^2 \ln x}$
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{(1+x)}\right)^{1+x}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x}
$$
设 $f(x)$ 连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=\pi$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\sin x)}{\tan ^2 x-\sin ^2 x}$.