一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x)=\left(x^3-x^2+\frac{1}{2} x\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^6+1}-\frac{1}{6}$ 是 $g(x)=\alpha x^\beta$ 等价无穷小, 则 $\alpha, \beta=$
$\text{A.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1$
$\text{B.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-1$
$\text{C.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-2$
$\text{D.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-2$
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是:
$\text{A.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{B.}$ $\ln \left(\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\right)$
$\text{C.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x^2}{1+b x}$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 无穷小量 $\alpha=\frac{1}{x^a}, \beta=\frac{1}{\ln ^b x}, \gamma=\mathrm{e}^{-\alpha}$ ( $a, b, c$ 全大于零), 从低阶到 高阶正确的排序为
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$.
$\text{B.}$ $\beta, \alpha, \gamma$.
$\text{C.}$ $\alpha, \gamma, \beta$.
$\text{D.}$ $\gamma, \alpha, \beta$.
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
关于无穷小量, 哪一个是正确的
$\text{A.}$ 无穷小量是以零为极限的函数
$\text{B.}$ 无穷小量就是数 0
$\text{C.}$ 无穷小量就是一个很小的数
$\text{D.}$ 0 不是无穷小
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{C.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
设当 $x \rightarrow 0$ 时, $\mathrm{e}^x-\left(a x^2+b x+1\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=1, b=1$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, \quad b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$.
设 $\alpha_1=\sqrt{x+\sqrt{x}}, \alpha_2=\sqrt[3]{x} \tan (x+\sqrt{x}), \alpha_3=1-\cos \sqrt{x}$. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $(1+x)^{\frac{1}{x}}-\left(e+a x+b x^2\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{e}{2}, b=-\frac{11}{24} e$.
$\text{B.}$ $a=-\frac{e}{2}, b=\frac{11}{24} e$.
$\text{C.}$ ${a}={e}, {b}=\frac{{e}}{2}$.
$\text{D.}$ ${a}={e}, {b}=-\frac{{e}}{{2}}$.
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$.
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$.
$\text{C.}$ $k=3, c=4$.
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$.
$x \rightarrow 0$ 时, 若 $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x}{1+b x+c x^2}$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小量, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-\frac{1}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{4}{3}, b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{6}$.
当 $x \rightarrow x_0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 都是无穷小, 则当 $x \rightarrow x_0$ 时 ( ) 不一定是无穷小。
$\text{A.}$ $|\alpha(x)|+|\beta(x)|$
$\text{B.}$ $\alpha^2(x)+\beta^2(x)$
$\text{C.}$ $\ln [1+\alpha(x) \cdot \beta(x)]$
$\text{D.}$ $\frac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(1+a x^2\right)^{\dfrac{1}{3}}-1$ 与 $1-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a=$
若 $x^2-a \sin x$ 和 $x$ 是 $x \rightarrow 0$ 时的等价无穷小, 则 $a=$.
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}\right]^x-\sqrt{e}$ 与 $c \cdot x^k$ 是等价无穷小, 求 $c$ 与 $k$ 的值分别为 ________ .
三、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)=a+b x+c x^2+d x^3-\tan x$, 当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小, 则 $a+b+c+d=$
设 $f(x)=\frac{x^2-(\sin x)^2}{x^4}$.
(1) 计算 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$;
(2) 证明: 当 $x \rightarrow \infty$ 时, $f(x)$ 是关于 $\frac{1}{x}$ 的 2 阶无穷小.
证明: 当 $x \rightarrow 0$ 时, 有
(1) $\arctan x \sim x$;
(2) $\sec x-1 \sim \frac{x^2}{2}$.
利用等价无穷小计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^3 x} $