一、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x+x^2+x^3}-x\right)$
极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow 2}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
二、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
考虑无穷级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}, \quad x \in[-\pi, \pi]
$$
1)证明级数在 $x=0, \pm \pi$ 处绝对收敛，在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上条件收敛；
2) 记极限函数为 $S(x)$ ，证明 $S(x)$ 是 $[-\pi, 0) \cup(0, \pi]$ 上的连续函数；
3) 证明函数 $S(x)$ 在 0 处不连续。
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^a \ln ^b x$, 其中 $a>0, b>0$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin \cos x-\sin \sin 1}{\cos \cos \cos x-\cos \cos 1}$
证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \text { 个9 }}=1$
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$
设数列满足条件: $\left|a_{n+1}-a_n\right| < r^n, n=1,2, \cdots$, 其中 $r \in(0,1)$.求证 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
对给定的 $y$ 值, 方程 $x-\alpha \cdot \sin x=y(0 < \alpha < 1)$ 有唯一解
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1^2+2^2+\cdots+k^2}$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdots \frac{n^3-1}{n^3+1}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots \sqrt{2}}}}$
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}$
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1$ ( $a>0$ 为常数).
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+n^{\frac{1}{2}}+\cdots+n^{\frac{1}{n}}}{n}$
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right)}{x}$
求极限$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1+\sin x)^{\frac{\ln x}{x}}}{x^2 \ln x} $
验证极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在, 但不能用洛必达法则得出.