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湖南大学

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 + \frac{1}{a_{n}}

，求

lim_{n \to \infty} a_{n}

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2. 设

f (x)

在

x = 0

处连续，且

lim_{x \to 0} \frac{f (2 x) - f (x)}{x} = a, a \in R

. 证明:

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f^{'} (0) = a

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3. 计算定积分

\int_{- π}^{π} \frac{x \sin x \cdot \arctan e^{x}}{1 + \cos^{2} x} d x

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4. 设函数

f (x)

在区间

[0, 2]

上具有连续导数，且

f (0) = f (2) = 0, M = max_{x \in [0, 2]} {| f (x) |} .

证明: (1) 存在

ξ \in (0, 2)

，使得

| f^{'} (ξ) | \geq M

；
(2) 若对任意的

x \in (0, 2), | f^{'} (x) | \leq M

，则

M = 0

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5. 已知函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续，且满足

f (x) = \sin x + \int_{0}^{x} t f (x - t) d t ，

判定级数

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} f (\frac{1}{n})

敛散性.

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