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东南大学数学分析

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

y = y (x)

是由方程

\arcsin (x y) + y^{2} - y \cdot e^{x y} = 2

确定的隐函数，求曲线

y = y (x)

在点

(0, 2)

处的切线方程和法线方程

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2. 求极限

lim_{n \to + \infty} (\sqrt[n]{n^{2} + 1} - 1) \cdot \sin (\frac{n π}{2})

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3. 计算

\int \frac{\arccos x}{x^{2}} d x

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4. 计算

\int_{- 1}^{1} \frac{x + 2}{e^{x} + e^{- x}} d x

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5. 计算二重积分:

\iint_{D} \frac{\sin y \cos y}{y} d x d y

，其中

D

为直线

y = x

与抛物线

x = y^{2}

所围成的封闭区域.

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6. 设

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2} + y^{2} = 0 \end{cases}

，求二阶偏导数

f_{x y}^{''}

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7. 求极限:

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - \cos x}{\int_{0}^{x} \frac{\ln (1 + x y)}{y} d y}

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8. 计算含参量反常积分:

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin (x y)}{y \cdot e^{y}} d y

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9. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上连续，在开区间

(0, 1)

内可导，且

f (0) = f (1) = 0, f (\frac{1}{2}) = 1 .

证明: 必定存在

ξ \in (0, 1)

，使得

f^{'} (ξ) = 1

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10. 设

D = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < + \infty}

，证明：对任意的

(x, y) \in D

，成立不等式:

y \cdot x^{y} \cdot (1 - x) < \frac{1}{e}

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11. 证明: 若

f (x, y)

在区域

D

上分别对每个自变量

x

和

y

都连续，并且对

x

是单调的，则函数

f (x, y)

在区域

D

内为连续函数.

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12. 解答如下问题:
(1) 叙述

R^{n}

上的有限覆盖定理.
(2) 设对任意的

x_{0} \in [a, b]

，有

lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0

，证明:

f (x) \in R [a, b] 且 \int_{a}^{b} f (x) d x = 0

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