一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 20 分，每题只有一个选项正确）
点 $P(1,0,1)$ 到直线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-3 z=0\end{array}\right.$ 的距离 $d=$ （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$.
设函数 $f(x)$ 连续且满足 $f(x+\pi)+f(x)=0$, 则 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶系数 $(n=1$, $2, \cdots)$
$\text{A.}$ $a_{2 n}=0, b_{2 n}=0$.
$\text{B.}$ $a_{2 n}=0, b_{2 n-1}=0$.
$\text{C.}$ $a_{2 n-1}=0, b_{2 n-1}=0$.
$\text{D.}$ $a_{2 \pi-1}=0, b_{2 n}=0$.
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 15 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n) !}=$
三、解答题 （ 共 3 题，满分 60 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{-y}-y+\int_0^x\left(\mathrm{e}^{-t^2}+1\right) \mathrm{d} t=1$ 所确定的隐函数.
(1) 证明 $y(x)$ 是单调增加函数;
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 曲线 $y^{\prime}(x)$ 是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛. 证明:
$$
\lim _{\lambda \rightarrow 0^{+}} \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x .
$$
设
$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rr}
\left( x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\
0 ,(x, y)=(0,0)
\end{array} .\right.
$
证明:
(1) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续;
(2) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处存在偏导数;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数不连续；
(4) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微.