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高等数学

数学

本试卷总分95分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 点

P (1, 0, 1)

到直线

{\begin{cases} x - y - z + 1 = 0, \\ x + y - 3 z = 0 \end{cases}

的距离

d =

（　　）

A.

\frac{\sqrt{2}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\sqrt{2}

D.

\sqrt{3}

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2. 设函数

f (x)

连续且满足

f (x + π) + f (x) = 0

, 则

f (x)

以

2 π

为周期的傅里叶系数

(n = 1

2, \dots)

A.

a_{2 n} = 0, b_{2 n} = 0

B.

a_{2 n} = 0, b_{2 n - 1} = 0

C.

a_{2 n - 1} = 0, b_{2 n - 1} = 0

D.

a_{2 π - 1} = 0, b_{2 n} = 0

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n)!} =

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三、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

4. 设

y = y (x)

是由方程

e^{- y} - y + \int_{0}^{x} (e^{- t^{2}} + 1) d t = 1

所确定的隐函数.
(1) 证明

y (x)

是单调增加函数;
（2）当

x \to + \infty

时, 曲线

y^{'} (x)

是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.

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5. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

连续，广义积分

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x

收敛. 证明:

lim_{λ \to 0^{+}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- λ x} f (x) d x = \int_{0}^{+ \infty} f (x) d x .

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6. 设

f (x, y) = {\begin{array}{rr} (x^{2} + y^{2}) \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}}, (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, (x, y) = (0, 0) \end{array} .

证明:
(1)

f (x, y)

在

(0, 0)

处连续;
(2)

f (x, y)

在

(0, 0)

处存在偏导数;
(3)

f (x, y)

在

(0, 0)

处的偏导数不连续；
(4)

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微.

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