解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验:
(1)已知抛物线 $y=-x^2+b x-3$ 经过点 $(-1,0)$, 则 $b=$ $\qquad$ , 顶点坐标为 $\qquad$ , 该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是 $\qquad$ 抽象感悟:
我们定义：对于抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$, 以 $y$ 轴上的点 $M(0, m)$ 为中心, 作该抛物线关于点 $M$ 对称的抛物线, 则我们又称抛物线为抛物线 $y$ 的"衍生抛物线", 点 $M$ 为"衍生中心".
(2)已知抛物线 $y=-x^2-2 x+5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}$, 若这两条抛物线有交点, 求 $m$ 的取值范围.问题解决：
(3)已知抛物线 $y=a x^2+2 a x-b(a \neq 0)$.
① 若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}=b x^2-2 b x+a^2(b \neq 0)$, 两抛物线有两个交点, 且恰好是它们的顶点, 求 $a$, $b$ 的值及衍生中心的坐标;
② 若抛物线 $y$ 关于点 $\left(0, k+1^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_1$, 其顶点为 $A_1$; 关于点 $\left(0, k+2^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_2$, 其顶点为 $A_2 ; \ldots$; 关于点 $\left(0, k+n^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_n$, 其顶点为 $A_n, \ldots$ ( $n$ 为正整数). 求 $A_n A_{n-1}$ 的长 (用含 $n$ 的式子表示)。
定义： 同时经过 $x$ 轴上两点 $A(m, 0), B(n, 0)(m \neq n)$ 的两条抛物线称为同弦抛物线. 如抛物线 $C_1: y=$ $(x-1)(x-3)$ 与抛物线 $C_2: y=2(x-1)(x-3)$ 是都经过 $(1,0),(3,0)$ 的同弦抛物线.
(1)引进一个字母, 表达出抛物线 $C_1$ 的所有同弦抛物线;
(2)判断抛物线 $C_3: y=\frac{1}{2} x^2-\frac{3}{2} x+1$ 与抛物线 $C_1$ 是否为同弦抛物线, 并说明理由;
(3)已知抛物线 $C_4$ 是 $C_1$ 的同弦抛物线, 且过点 $(4,5)$, 求抛物线 $C_4$ 对应函数的最大值或最小值.
小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义: 如果二次函数 $y=a_1 x^2+b_1 x+c_1\left(a_1 \neq 0, a_1, b_1, c_1\right.$ 是常数) 与 $y=a_2 x^2+b_2 x+c_2\left(a_2 \neq 0, a_2, b_2, c_2\right.$ 是常数 $)$满足 $a_1+a_2=0, b_1=b_2, c_1+c_2=0$, 则称这两个函数互为"旋转函数". 求 $y=-x^2+3 x-2$ 函数的"旋转函数".
小明是这样思考的: 由 $y=-x^2+3 x-2$ 函数可知 $a_1=-1, b_1=3, c_1=-2$, 根据 $a_1+a_2=0, b_1=b_2$, $c_1+c_2=0$ 求出 $a_2, b_2, c_2$, 就能确定这个函数的"旋转函数".
请参考小明的方法解决下面的问题:
(1) 写出函数 $y=-x^2+3 x-2$ 的"旋转函数";
(2) 若函数 $y_1=x^2-\frac{4 n}{3} x+n$ 与 $y_2=-x^2+m x-3$ 互为"旋转函数", 求 $(m+n)^{2016}$ 的值;
(3)已知函数 $y=\frac{1}{2}(x-1)(x+4)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 点 $A 、 B 、 C$ 关于原点的对称点分别是 $A_1 、 B_1 、 C_1$, 试证明经过点 $A_1 、 B_1 、 C_1$ 的二次函数与函数 $y=\frac{1}{2}(x-1)(x+4)$ 互为"旋转函数".
定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作"同轴对称抛物线".
例如: $y=(x-1)^2-2$ 的"同轴对称抛物线"为 $y=-(x-1)^2+2$.
(1) 请写出抛物线 $y=(x-1)^2-2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；及其"同轴对称抛物线" $y=-(x-1)^2+2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的"同轴对称抛物线"为 $\qquad$ .
(2)如图, 在平面直角坐标系中, 点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点, 点 $B$ 的横坐标为 1 , 过点 $B$作 $x$ 轴的垂线, 交抛物线 $L$ 的 "同轴对称抛物线"于点 $C$, 分别作点 $B 、 C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime} 、 C^{\prime}$,连接 $B C 、 C C^{\prime} 、 B^{\prime} C^{\prime} 、 B B^{\prime}$, 设四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 的面积为 $S(S>0)$.
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C^{\prime}$ 为正方形时, 求 $a$ 的值.
② 当抛物线 $L$ 与其"同轴对称抛物线"围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横、纵坐标均为整数的点时, 请求出 $a$ 的取值范围.
【阅读理解】
定义: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 对于一个动点 $P(x, y)$, 若 $x, y$ 都可以用同一个字母表示, 那么点 $P$ 的运动路径是确定的. 若根据点 $P$ 坐标求出点 $P$ 运动路径所对应的关系式是函数, 则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点"去隐".
例如, 将点 $M(m+1,-m+1)$ ( $m$ 为任意实数) "去隐"的方法如下:
设 $x=m+1(1), y=-m+1(2)$,
由(1)得 $m=x-1(3)$
将(3)代入(2)得 $y=-(x-1)+1$, 整理得 $y=-x+2$,
则直线 $y=-x+2$ 是点 $M$ 的运动路径.
【迁移应用】在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知动点 $Q\left(-a,-\frac{1}{4} a^2-a+3\right)$ （ $a$ 为任意实数）的运动路径是抛物线.
(1)请将点 $Q^{\prime}$ 去隐"，得到该拋物线表达式;
(2)记 (1) 中抛物线为 $W$ (如图), $W$ 与 $x$ 轴交于点 $A, B$ ( $A$ 在 $B$ 的左侧), 其顶点为点 $C$, 现将 $W$ 进行平移, 平移后的抛物线 $W^{\prime}$ 始终过点 $A$, 点 $C$ 的对应点为 $C^{\prime}$.
i) 试确定点 $C^{\prime}$ 运动路径所对应的函数表达式;
ii ) 在直线 $x=-2$ 的左侧, 是否存在点 $C^{\prime}$, 使 $\triangle A C C^{\prime}$ 为等腰三角形? 若存在, 求出点 $C^{\prime}$ 的坐标; 若不存在,请说明理由.
定义若抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 与直线有两个交点，则称抛物线为直线的"双幸运曲线"，其交点为该直线的"幸运点".
(1)已知直线解析式为 $y=x-1$, 下列抛物线为该直线的"双幸运曲线"的是 $\qquad$ ；（填序号）
① $y=x^2+1$ ；
② $y=x^2+x-2$;
③ $y=x^2-x$;
(2)如图, 已知直线 $l: y=x-4$, 抛物线 $y=-x^2-3 x$ 为直线 $l$ 的"双幸运曲线", "幸运点"分别为 $A 、 B$, 在直线 $l$ 上方抛物线部分是否存在点 $P$ 使 $\triangle P A B$ 面积最大, 若存在, 请求出面积的最大值和点 $P$ 坐标, 若不存在,请说明理由；
(3)已知 $x$ 轴的"双幸运曲线" $y=a x^2+b x+c(a>b>0)$ 经过点 $(1,3),(0,-2)$, 在 $x$ 轴的"幸运点"分别为 $M 、 N$, 试求 $M N$ 的取值范围.
定义：由两条与 $x$ 轴有着相同的交点, 并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为"月牙线", 如图 ① , 抛物线 $C_1: y=x^2+2 x-3$ 与抛物线 $C_2: y=a x^2+2 a x+c$ 组成一个开口向上的"月牙线", 抛物线 $C_1$ 和抛物线 $C_2$ 与 $x$ 轴有着相同的交点 $A(-3,0) 、 B$ (点 $B$ 在点 $A$ 右侧), 与 $y$ 轴的交点分别为 $G 、 H(0,-1)$.
(1)求抛物线 $C_2$ 的解析式和点 $G$ 的坐标.
(2) 点 $M$ 是 $x$ 轴下方抛物线 $C_1$ 上的点, 过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$, 交抛物线 $C_2$ 于点 $D$, 求线段 $M N$ 与线段 $D M$ 的长度的比值.
(3)如图 ② , 点 $E$ 是点 $H$ 关于抛物线对称轴的对称点, 连接 $E G$, 在 $x$ 轴上是否存在点 $F$, 使得 $\triangle E F G$ 是以 $E G$ 为腰的等腰三角形？若存在, 请求出点 $F$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
在数学活动课上, 小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究, 如果将二次函数 $y=a x^2+b x+$ $c(a \neq 0)$ 图象上的点 $A(x, y)$ 的横坐标不变，纵坐标变为 $A$ 点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点 $A_1(x, x+y)$, 他们把这个点 $A_1$ 定义为点 $A$ 的"简朴"点. 他们发现: 二次函数 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 所有简朴点构成的图象也是一条抛物线, 于是把这条抛物线定义为 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的"简朴曲线". 例如,二次函数 $y=x^2+x+1$ 的"简朴曲线"就是 $y=x^2+x+1+x=x^2+2 x+1$, 请按照定义完成:
(1) 点 $P(1,2)$ 的"简朴"点是 $\qquad$ ;
(2)如果拋物线 $y=a x^2-7 x+3(a \neq 0)$ 经过点 $M(1,-3)$, 求该抛物线的"简朴曲线";
(3)已知拋物线 $y=x^2+b x+c$ 图象上的点 $B(x, y)$ 的"简朴点"是 $B_1(-1,1)$, 若该抛物线的"简朴曲线"的顶点坐标为 $(m, n)$, 当 $0 \leq c \leq 3$ 时, 求 $n$ 的取值范围.
定义: 若二次函数 $y=a_1(x-h)^2+k$ 的图象记为 $C_1$, 其顶点为 $A(h, k)$, 二次函数 $y=a_2(x-k)^2+h$ 的图象记为 $C_2$, 其顶点为 $B(k, h)$ ，我们称这样的两个二次函数互为"反顶二次函数".
分类一: 若二次函数 $C_1: y=a_1(x-h)^2+k$ 经过 $C_2$ 的顶点 $B$, 且 $C_2: y=a_2(x-k)^2+h$ 经过 $C_1$ 的顶点 $A$, 我们就称它们互为"反顶伴侣二次函数"。
(1)所有二次函数都有"反顶伴侣二次函数"是 $\qquad$ 命题. (填"真"或"假")
(2)试求出 $y=x^2-4 x+5$ 的"反顶伴侣二次函数".
(3)若二次函数 $C_1$ 与 $C_2$ 互为"反顶伴侣二次函数", 试探究 $a_1$ 与 $a_2$ 的关系, 并说明理由.
(4) 分类二: 若二次函数 $C_1: y=a_1(x-h)^2+k$ 可以绕点 $M$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到二次函数 $C_2 ; y=a_2(x-k)^2+h$,我们就称它们互为"反顶旋转二次函数".
① 任意二次函数都有"反顶旋转二次函数"是 $\qquad$ 命题. (填"真"或"假")
② 互为"反顶旋转二次函数"的对称中心点 $M$ 有什么特点?
③ 如图， $C_1, C_2$ 互为"反顶旋转二次函数"，点 $E, F$ 的对称点分别是点 $Q, G$ ，且 $E F\|G Q\| x$ 轴，当四边形 $E F Q G$ 为矩形时, 试探究二次函数 $C_1, C_2$ 的顶点有什么关系. 并说明理由.
定义：将二次函数 $l$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移 $t$, 再沿 $x$ 轴翻折, 得到新函数 $l^{\prime}$ 的图象, 则称函数 $l^{\prime}$ 是函数 $l$ 的 " $t$值衍生抛物线". 已知 $l: y=x^2-2 x-3$.
(1)当 $t=-2$ 时,
① 求衍生抛物线 $l$ 的函数解析式;
② 如图 1, 函数 $l$ 与 $l^{\prime}$ 的图象交于 $M(-\sqrt{3}, n), N(m,-2 \sqrt{3})$ 两点, 连接 $M N$. 点 $P$ 为抛物线 $l^{\prime}$ 上一点,且位于线段 $M N$ 上方, 过点 $P$ 作 $P Q / / y$ 轴, 交 $M N$ 于点 $Q$, 交抛物线 $l$ 于点 $G$, 求 $S_{\triangle} Q N G$ 与 $S_{\Delta} P N G$ 存在的数量关系。
(2)当 $t=2$ 时, 如图 2, 函数 $l$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 连接 $A C$. 函数 $l^{\prime}$ 与 $x$ 轴交于 $D, E$两点, 与 $y$ 轴交于点 $F$. 点 $K$ 在抛物线 $l^{\prime}$ 上, 且 $\angle E F K=\angle O C A$. 请直接写出点 $K$ 的横坐标.
定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作"镜像抛物线".
例如: $y=(x-h)^2-k$ 的"镜像抛物线"为 $y=-(x-h)^2+k$.
(1)请写出抛物线 $y=(x-2)^2-4$ 的顶点坐标 $\qquad$ ，及其"镜像抛物线 $y=-(x-2)^2+4$ 的顶点坐标 $\qquad$ . 写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的"镜像抛物线"为 $\qquad$ .
(2)如图, 在平面直角坐标系中, 点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点, 点 $B$ 的横坐标为 1, 过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线, 交抛物线 $L$ 的 "镜像抛物线"于点 $C$, 分别作点 $B, C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime}, C^{\prime}$, 连接 $B C, C C^{\prime}$, $B^{\prime} C^{\prime}, B B^{\prime}$ 。
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 为正方形时, 求 $a$ 的值.
② 求正方形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 所含 (包括边界) 整点个数. (说明：整点是横、纵坐标均为整数的点)
