小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验:
(1)已知抛物线 $y=-x^2+b x-3$ 经过点 $(-1,0)$, 则 $b=$ $\qquad$ , 顶点坐标为 $\qquad$ , 该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是 $\qquad$ 抽象感悟:

我们定义：对于抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$, 以 $y$ 轴上的点 $M(0, m)$ 为中心, 作该抛物线关于点 $M$ 对称的抛物线, 则我们又称抛物线为抛物线 $y$ 的"衍生抛物线", 点 $M$ 为"衍生中心".
(2)已知抛物线 $y=-x^2-2 x+5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}$, 若这两条抛物线有交点, 求 $m$ 的取值范围.问题解决：
(3)已知抛物线 $y=a x^2+2 a x-b(a \neq 0)$.
① 若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y^{\prime}=b x^2-2 b x+a^2(b \neq 0)$, 两抛物线有两个交点, 且恰好是它们的顶点, 求 $a$, $b$ 的值及衍生中心的坐标;
② 若抛物线 $y$ 关于点 $\left(0, k+1^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_1$, 其顶点为 $A_1$; 关于点 $\left(0, k+2^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_2$, 其顶点为 $A_2 ; \ldots$; 关于点 $\left(0, k+n^2\right)$ 的衍生抛物线为 $y_n$, 其顶点为 $A_n, \ldots$ ( $n$ 为正整数). 求 $A_n A_{n-1}$ 的长 (用含 $n$ 的式子表示)。