【阅读理解】
定义: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 对于一个动点 $P(x, y)$, 若 $x, y$ 都可以用同一个字母表示, 那么点 $P$ 的运动路径是确定的. 若根据点 $P$ 坐标求出点 $P$ 运动路径所对应的关系式是函数, 则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点"去隐".
例如, 将点 $M(m+1,-m+1)$ ( $m$ 为任意实数) "去隐"的方法如下:
设 $x=m+1(1), y=-m+1(2)$,
由(1)得 $m=x-1(3)$
将(3)代入(2)得 $y=-(x-1)+1$, 整理得 $y=-x+2$,
则直线 $y=-x+2$ 是点 $M$ 的运动路径.
【迁移应用】在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知动点 $Q\left(-a,-\frac{1}{4} a^2-a+3\right)$ （ $a$ 为任意实数）的运动路径是抛物线.

(1)请将点 $Q^{\prime}$ 去隐"，得到该拋物线表达式;
(2)记 (1) 中抛物线为 $W$ (如图), $W$ 与 $x$ 轴交于点 $A, B$ ( $A$ 在 $B$ 的左侧), 其顶点为点 $C$, 现将 $W$ 进行平移, 平移后的抛物线 $W^{\prime}$ 始终过点 $A$, 点 $C$ 的对应点为 $C^{\prime}$.
i) 试确定点 $C^{\prime}$ 运动路径所对应的函数表达式;
ii ) 在直线 $x=-2$ 的左侧, 是否存在点 $C^{\prime}$, 使 $\triangle A C C^{\prime}$ 为等腰三角形? 若存在, 求出点 $C^{\prime}$ 的坐标; 若不存在,请说明理由.