定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作"同轴对称抛物线".
例如: $y=(x-1)^2-2$ 的"同轴对称抛物线"为 $y=-(x-1)^2+2$.
(1) 请写出抛物线 $y=(x-1)^2-2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；及其"同轴对称抛物线" $y=-(x-1)^2+2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的"同轴对称抛物线"为 $\qquad$ .
(2)如图, 在平面直角坐标系中, 点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点, 点 $B$ 的横坐标为 1 , 过点 $B$作 $x$ 轴的垂线, 交抛物线 $L$ 的 "同轴对称抛物线"于点 $C$, 分别作点 $B 、 C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime} 、 C^{\prime}$,连接 $B C 、 C C^{\prime} 、 B^{\prime} C^{\prime} 、 B B^{\prime}$, 设四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 的面积为 $S(S>0)$.
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C^{\prime}$ 为正方形时, 求 $a$ 的值.
② 当抛物线 $L$ 与其"同轴对称抛物线"围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横、纵坐标均为整数的点时, 请求出 $a$ 的取值范围.
例如: $y=(x-1)^2-2$ 的"同轴对称抛物线"为 $y=-(x-1)^2+2$.
(1) 请写出抛物线 $y=(x-1)^2-2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；及其"同轴对称抛物线" $y=-(x-1)^2+2$ 的顶点坐标 $\qquad$ ；写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的"同轴对称抛物线"为 $\qquad$ .
(2)如图, 在平面直角坐标系中, 点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点, 点 $B$ 的横坐标为 1 , 过点 $B$作 $x$ 轴的垂线, 交抛物线 $L$ 的 "同轴对称抛物线"于点 $C$, 分别作点 $B 、 C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime} 、 C^{\prime}$,连接 $B C 、 C C^{\prime} 、 B^{\prime} C^{\prime} 、 B B^{\prime}$, 设四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 的面积为 $S(S>0)$.
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C^{\prime}$ 为正方形时, 求 $a$ 的值.
② 当抛物线 $L$ 与其"同轴对称抛物线"围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横、纵坐标均为整数的点时, 请求出 $a$ 的取值范围.