定义：由两条与 $x$ 轴有着相同的交点, 并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为"月牙线", 如图 ① , 抛物线 $C_1: y=x^2+2 x-3$ 与抛物线 $C_2: y=a x^2+2 a x+c$ 组成一个开口向上的"月牙线", 抛物线 $C_1$ 和抛物线 $C_2$ 与 $x$ 轴有着相同的交点 $A(-3,0) 、 B$ (点 $B$ 在点 $A$ 右侧), 与 $y$ 轴的交点分别为 $G 、 H(0,-1)$.
(1)求抛物线 $C_2$ 的解析式和点 $G$ 的坐标.
(2) 点 $M$ 是 $x$ 轴下方抛物线 $C_1$ 上的点, 过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$, 交抛物线 $C_2$ 于点 $D$, 求线段 $M N$ 与线段 $D M$ 的长度的比值.
(3)如图 ② , 点 $E$ 是点 $H$ 关于抛物线对称轴的对称点, 连接 $E G$, 在 $x$ 轴上是否存在点 $F$, 使得 $\triangle E F G$ 是以 $E G$ 为腰的等腰三角形？若存在, 请求出点 $F$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
(1)求抛物线 $C_2$ 的解析式和点 $G$ 的坐标.
(2) 点 $M$ 是 $x$ 轴下方抛物线 $C_1$ 上的点, 过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$, 交抛物线 $C_2$ 于点 $D$, 求线段 $M N$ 与线段 $D M$ 的长度的比值.
(3)如图 ② , 点 $E$ 是点 $H$ 关于抛物线对称轴的对称点, 连接 $E G$, 在 $x$ 轴上是否存在点 $F$, 使得 $\triangle E F G$ 是以 $E G$ 为腰的等腰三角形？若存在, 请求出点 $F$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.