定义：关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作"镜像抛物线".
例如: $y=(x-h)^2-k$ 的"镜像抛物线"为 $y=-(x-h)^2+k$.
(1)请写出抛物线 $y=(x-2)^2-4$ 的顶点坐标 $\qquad$ ，及其"镜像抛物线 $y=-(x-2)^2+4$ 的顶点坐标 $\qquad$ . 写出抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 的"镜像抛物线"为 $\qquad$ .
(2)如图, 在平面直角坐标系中, 点 $B$ 是抛物线 $L: y=a x^2-4 a x+1$ 上一点, 点 $B$ 的横坐标为 1, 过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线, 交抛物线 $L$ 的 "镜像抛物线"于点 $C$, 分别作点 $B, C$ 关于抛物线对称轴对称的点 $B^{\prime}, C^{\prime}$, 连接 $B C, C C^{\prime}$, $B^{\prime} C^{\prime}, B B^{\prime}$ 。
① 当四边形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 为正方形时, 求 $a$ 的值.
② 求正方形 $B B^{\prime} C^{\prime} C$ 所含 (包括边界) 整点个数. (说明：整点是横、纵坐标均为整数的点)