单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知方程 $x^5-5 x+k=0$ 有 3 个不同的实根，则 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty,-4)$
$\text{B.}$ $(4,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-4,4]$
$\text{D.}$ $(-4,4)$
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的通解为
$$
y=\left(C_1+C_2 x\right) e^{-x}+e^x,
$$
则 $a, b, c$ 依次为
$\text{A.}$ ${1 , 0 , 1}$
$\text{B.}$ ${1 , 0 , 2}$
$\text{C.}$ $2,1,3$
$\text{D.}$ $2,1,4$
若 $\sum_{n=1}^{\infty} n u_n$ 绝对收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{n}$ 条件收敛，则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 条件收敛
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$ 绝对收敛
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散
设 $\boldsymbol{A}$ 为四阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $A^*$ 的秩是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵，若 $A^2+A=2 E ， \text { 且 }|A|=4 \text { ， }$ 则二次型 $x^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$
设 $A, B$ 为随机事件，则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是
$\text{A.}$ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A \bar{B})=P(B \bar{A})$
$\text{D.}$ $P(A B)=P(\overline{A B})$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立, 且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P\{|X-Y| < 1\}$
$\text{A.}$ 与 $\mu$ 无关，与 $\sigma^2$ 有关
$\text{B.}$ 与 $\mu$ 有关，与 $\sigma^2$ 无关
$\text{C.}$ 与 $\mu, \sigma^2$ 都有关
$\text{D.}$ 与 $\mu, \sigma^2$ 都无关
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1)}\right]^n=$
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3 \pi}{2}\right)$ 的拐点坐标为
已知 $f(x)=\int_1^x \sqrt{1+t^4} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^1 x^2 f(x) \mathrm{d} x=$
设 $A, B$ 两商品的价格分别为 $P_A, P_B$ ，需求函数为
$$
Q_A=500-P_A^2-P_A P_B+2 P_B^2, P_A=10, P_B=20
$$
则 $\boldsymbol{A}$ 商品对自身价格的需求弹性 $\boldsymbol{\eta}_{\boldsymbol{A}}=$ $\qquad$ $\left(\eta_{A A}>0\right)$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & a^2-1\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$, 线性方程组 $A X=b$有无穷多解，则 $a=$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}, 0 < x < 2, \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ ， $\boldsymbol{F}(x)$ 为 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数， $\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}$ 为 $\boldsymbol{X}$ 的数学期望，则 $P\{F(X)>E X-1\}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2 x}, x>0, \\ x e^x+1, x \leq 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值。
已知 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且
$$
\begin{gathered}
g(x, y)=x y-f(x+y, x-y) . \\
\text { 求 } \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} .
\end{gathered}
$$
已知 $y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime}-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^2}{2}}$ ，且有 $y(1)=\sqrt{e}$.
(1) 求 $y(x)$ ；
(2) $D=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq y(x)\}$ ，求平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体体积.
求曲线 $y=e^{-x} \sin x(x \geq 0)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积.
设 $a_n=\int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x(n=1,2,3, \cdots)$
(1) 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减，且
$$
a_n=\frac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots) ;
$$
(2) 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$.
已知向量组
(I) $\alpha_1=(1,1,4)^T, \alpha_2=(1,0,4)^T, \alpha_3=\left(1,2, a^2+3\right)^T$,
(II) $\beta_1=(1,1, a+3)^T, \beta_2=(0,2,1-a)^T, \beta_3=\left(1,3, a^2+3\right)^T$,若向量组(I)和向量组(II) 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\boldsymbol{\beta}_3$ 用 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 表示.
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似.
(1) 求 $x, y$ ；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=B$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 服从参数为 1 的指数分布， $Y$ 的概率分布为
$$
\begin{aligned}
& \quad P\{Y=-1\}=p, P\{Y=1\}=1-p(0 < p < 1) . \\
& \text { 令 } Z=X Y ，
\end{aligned}
$$
(1) 求 $Z$ 的概率密度；
(2) $p$ 为何值时， $\boldsymbol{X}$ 与 $Z$ 不相关；
(3) $X$ 与 $Z$ 是否相互独立
设总体 $X$ 的概率密度为
$\sigma>0$ 是未知参数， $A$ 是常数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\boldsymbol{A}$ ；
(2) 求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量.