单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如下图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $y=\frac{1}{2} e^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) e^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的一个特解，则
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^n$ 的
$\text{A.}$ 收敛点，收敛点
$\text{B.}$ 收敛点，发散点
$\text{C.}$ 发散点, 收敛点
$\text{D.}$ 发散点，发散点
设 $D$ 是第一象限中曲线 $2 x y=1,4 x y=1$ 与直线 $y=x$ ， $y=\sqrt{3} x$ 围成的平面区域，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)
$$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{C.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{2 \sin 2 \theta}}^{\frac{1}{\sin 2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right) ， b=\left(\begin{array}{c}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$ ，若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $A x=b$ 有无穷多个解的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
若 $A, B$ 为任意两个随机事件，则
$\text{A.}$ $P(A B) \leq P(A) P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B) \geq P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B) \leq \frac{P(A)+P(B)}{2}$
$\text{D.}$ $P(A B) \geq \frac{P(A)+P(B)}{2}$
设随机变量 $X, Y$ 不相关，且 $E(X)=2 ，E(Y)=1,D(X)=3$ ，则 $E[X(X+Y-2)]=$
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -5
$\text{D.}$ 5
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$
若函数 $z=x(x, y)$ 由方程 $e^z+x y z+x+\cos x=2$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$
设 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 $\iiint_{\Omega}(x+2 y+3 z) \mathrm{d} V=$
$n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ -1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1,0 ; 1,1 ; 0)$ ，则 $P\{X Y-Y < 0\}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^3$ ，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $a, b, k$ 值.
设 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
已知函数 $f(x, y)=x+y+x y$ ，曲线$C: x^2+y^2+x y=3 $
求 $f(x, y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数.
(1) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明
$$
[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .
$$
(2) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x)$ 可导，
$$
f(x)=u_1(x) u_2(x) \cdots \cdots u_n(x) ，
$$
写出 $f(x)$ 的求导公式.
已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2} \\ z=x\end{array}\right.$ ，起点为 $A(0, \sqrt{2}, 0)$ ，终点为 $B(0,-\sqrt{2}, 0)$ ，计算曲线积分
$I=\int_L(y+z) \mathrm{d} x+\left(z^2-x^2+y\right) \mathrm{d} y+\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} z$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 3 维向量空间 $R^3$ 的一个基，
$$
\beta_1=2 \alpha_1+2 k \alpha_3, \beta_2=2 \alpha_2, \beta_3=\alpha_1+(k+1) \alpha_3 \text {. }
$$
（1）证明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $R^3$ 的一个基；
（2）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\xi$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标相同，并求出所有的 $\xi$.
设 $A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$.
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $P^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
2^{-x} \ln 2, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{array}\right.
$$
对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $\boldsymbol{Y}$ 为观测次数。
(1) 求 $\boldsymbol{Y}$ 的概率分布;
(2) 求 $E(Y)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leq x \leq 1 \\
0 & , \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta$ 为未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本.
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.