设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 3 维向量空间 $R^3$ 的一个基，
$$
\beta_1=2 \alpha_1+2 k \alpha_3, \beta_2=2 \alpha_2, \beta_3=\alpha_1+(k+1) \alpha_3 \text {. }
$$
（1）证明向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $R^3$ 的一个基；
（2）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\xi$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标相同，并求出所有的 $\xi$.