单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\cos x-1=x \sin \alpha(x)$ ，其中 $|\alpha(x)| < \frac{\pi}{2}$ ，当 $x \rightarrow 0$时， $\alpha(x)$ 是
$\text{A.}$ 比 $x$ 高阶的无穷小量
$\text{B.}$ 比 $x$ 低阶的无穷小量
$\text{C.}$ 与 $x$ 同阶但不等价无穷小量
$\text{D.}$ 与 $x$ 等价无穷小量
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\cos (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin x, 0 \leq x < \pi \\ 2, \pi \leq x \leq 2 \pi\end{array}, \quad F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{x}=\pi$ 为函数 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ 的跳跃间断点
$\text{B.}$ $\boldsymbol{x}={\pi}$ 为函数 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ 的可去间断点
$\text{C.}$ $\boldsymbol{F}(x)$ 在 $\boldsymbol{x}=\pi$ 连续但不可导
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 可导
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}, 1 < x < e \\ \frac{1}{x \ln ^{\alpha+1} x}, x \geq e\end{array}\right.$, 若反常积分 $\int_1^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则
$\text{A.}$ $\alpha < -2$
$\text{B.}$ $\alpha>2$
$\text{C.}$ $-2 < \alpha < 0$
$\text{D.}$ $0 < \alpha < 2$
设函数 $z=\frac{y}{x} f(x y)$ ，其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
$\text{A.}$ $2 y f^{\prime}(x y)$
$\text{B.}$ $-2 y f^{\prime}(x y)$
$\text{C.}$ $\frac{2}{x} f(x y)$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{x} f(x y)$
设 $D_k$ 是圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ 的第 $k$ 象限的部分，记 $I_k=\iint_{D_k}(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(k=1,2,3,4)$ ，则
$\text{A.}$ $I_1>0$
$\text{B.}$ $I_2>0$
$\text{C.}$ $I_3>0$
$\text{D.}$ $I_4>0$
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B=C$ ，且 $B$ 可逆，则
$\text{A.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组等价
$\text{C.}$ 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{D.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组等价
矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-\frac{\ln (1+x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=$
设函数 $f(x)=\int_{-1}^x \sqrt{1-e^t} \mathrm{~d} t$ ，则 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y=0$ 处的导数 $\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right|_{y=0}=$
设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\cos 3 \theta\left(-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $L$ 所围成的平面图形的面积为
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 上对应于 $t=1$ 处的法线方程为
已知 $y_1=e^{3 x}-x e^{2 x} ， y_2=e^x-x e^{2 x} ， y_3=-x e^{2 x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足的条件 $\left.y\right|_{x=0}=\left.0 ， y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ 的解为 $y=$
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵， $|A|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的行列式， $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式.若 $a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2,3)$ ，则 $|A|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
当 $x \rightarrow 0$ 时, $1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x$ 与 $a x^n$ 是等价无穷小量, 求常数 $n$ 与 $a$ 的值.
设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ ，直线 $x=a(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形， $V_x, V_y$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $10 V_x=V_y$ ，求 $a$ 的值.
设平面区域 $D$ 是由直线 $x=3 y, y=3 x, x+y=8$ 围成，计算 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$ ，证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.
(2) 存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.
求曲线 $x^3-x y+y^3=1(x \geq 0, y \geq 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
设函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$.
(1) 求 $f(x)$ 的最小值;
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\ln x_n+\frac{1}{x_{n+1}} < 1$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限.
设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{2} \ln x(1 \leq x \leq e)$.
(1) 求 $L$ 的弧长.
(2) 设 $D$ 是由曲线 $L$ ，直线 $x=1, x=e$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ，当 $a ， b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $A C-C A=B$ ，并求所有矩阵 $C$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2$ $+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2$. 记 $\alpha=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right), \quad \beta=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right)$.
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^T+\beta \beta^T$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.