设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2$ $+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2$. 记 $\alpha=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right), \quad \beta=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right)$.
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^T+\beta \beta^T$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.