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设函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$.
(1) 求 $f(x)$ 的最小值;
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\ln x_n+\frac{1}{x_{n+1}} < 1$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限.
                        
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